一元二次方程式以及几种主要解法.ppt

一元二次方程及其解法,已知 ，求 的值,答案：,小结：,都可转化为a=b=0,已知 ，求 的值,3,3,2,想一想,一、复习提问、,1、一元二次方程的一般形式是什么？,2、一元二次方程分类,探究交流,（1）判断方程X（X10）=X23是否是一元二次方程？ （2）方程3 X22X=1的常数项是1，方程 3 X22X6=0的一次项系数是2，这种说法对吗？,答案：（1）化简后为10X3=0,所以它是一元一次方程。,（2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前面的性质符号。,练习：,（1）方程（m2）X|m|3mx1=0是关于X的一元二次方程，求m的值。,答案：m=2,（2）当m= 时，方程（m21）x2（m1）x1=0是关于x的一元一次方程。,答案：m=1,（3）已知关于x的一元二次方程（m1） x23x1=0有一个解是0，求m的值。,答案：m=1,（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2m2x1= x2x 没有一次项？,答案：m=1,活动1,如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子),问题1,活动1,要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间 都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划 安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请 多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）,问题2,例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求：m的取值范围.,解： 原方程是一元二次方程， 2m-10， m .,方程的解的定义,使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X25X6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就一定有两个解。,活动2,3猜测下列方程的根是什么？,方程的根：使一元二次方程等号两边相等 的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.,4.（1）下列哪些数是方程,的根？从中你能体会根的作用吗？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4,活动2,（2）若x2是方程 的一个,根，你能求出a的值吗？,根的作用： 可以使等号成立.,活动3,巩固练习,1你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？ （1） ； （2） .,一元二次方程的解法(1) -开平方法,问题1：,一桶某种油漆可刷的面的为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷好完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？,设正方体的棱长为X，则一个正方体的表面积为6X2.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程,解,由此可得,根据平方根的意义，得,即,因为棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm.,思考,对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程 及方程,由方程,得：,即,方程的两根为,解,方程,可化为,得,方程的两根为,当ac0时 ，,形如 （a0，c 0）的一元二次方程的解法：,当ac0时 ，此方程无实数解.,-3x2+7=0.,解：,例题讲解,解：系数化1，得,开平方，得,解这两个一元一次方程，得,或,小结,如何解形如 的一元二次方程?,小结与思考,方程可化为一边是 _,另一边是_,那么就可以用直接开平方法来求解.,1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?,含未知数的完全平方式,一个常数,2、直接开平方法的理论依据是什么?,平方根的定义及性质,例题讲解,拓展与提高：,一元二次方程的解法(2) -配方法,复习,填空,x2-2x+ ( ) = x+ ( )2 x2+6x+ ( ) = x- ( )2,3) x2+ + ( ) = x+ ( )2 4) y2-y+ ( ) = y- ( )2,1,-1,9,-3,(1)x28x =(x4)2 (2)x23x =(x )2 (3)x212x =(x )2,填空,配方时,若二次项系数为1，则配上的 常数是一次项系数一半的平方.,请同学解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9,上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，,那么可得,如：4x2+16x+16=（2x+4）2,x=,（p0）,或mx+n=,二、探索新知 列出下面二个问题的方程并回答： （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？,问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”,大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？,问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：,整理得：x2-64x+768=0,问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？,问题2：设道路的宽为x，则可列方程：,（20-x）（32-2x）=5000,整理，得：x2-36x-2180=0,（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有 （2）不能 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：,x2-64x+768=0,移项,x2-64x=-768,两边加（,）2使左边配成,x2+2bx+b2,的形式,x2-64x+322=-768+1024,左边写成平方形式 ,（x-32）2=256,降次,x-32=16,即 x-32=16或x-32=-16,解一次方程x1=48，x2=16,可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子,用配方法解一元二次方程的步骤:,移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.,活动1,1要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？,归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程.,先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.,配方法,练习：,绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房 之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿 地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是 多少米？,活动2,做一做,用配方法解下列方程: (1)x26x=1 (2)x2=65x (3) x24x3=0,用配方法解方程,x212x=9,你能总结出配方法的步骤吗?,巩固练习,1.在用配方法解 时,方程的两边应同时加上( ),2.解方程:,3、说明多项式 的值恒大于0,4、先用配方法说明：不论x取何值，代数式 值总大于0，再求出当x取何值时，代数式 的值最小？最小值是多少？,你能行吗,用配方法解下列方程. 1.x2 2 = 0; 2.x2 -3x- =0 ; 3.x24x2； 4.x26x10 ；,5.3x2 +8x 3=0 ;,这个方程与前4个方程不一样的是二次项系数不是1,而是3.,基本思想是: 如果能转化为前4个方程的形式,则问题即可解决.,你想到了什么办法?,配方法,例2 解方程 3x2+8x-3=0.,1.化1:把二次项系数化为1;,3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;,4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;,5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:写出原方程的解.,2.移项:把常数项移到方程的右边;,成功者是你吗,用配方法解下列方程. 6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ; 7. 3x2 + 2x 3 = 0 ; 8. 2x2 + x 6 = 0 ; 9.4x2+4x+10 =1-8x .,10. 3x2 - 9x +2 = 0 ; 11. 2x2 +6=7x ; 12. x2 _x +56 = 0 ; 13. -3x2+22x-24=0.,你能行吗,做一做 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系: h=15t-5t2 . 小球何时能达到10m的高度?,回味无穷,本节课复习了哪些旧知识呢？ 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用: 平方根的意义: 完全平方式:式子a22ab+b2叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2. 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二次方程解应用题).,如果x2=a,那么x=,设a0，a,b,c 都是已知数，并且 b2-4ac0，试用配方法解方程： ax2 +bx+c = 0.,?,b2-4ac0,因为,解,一元二次方程的解法(3) -求根公式法,一元二次方程ax2+bx+c=0( a0)的 求根公式 x= （b2-4ac0）,活动2,利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？,解,活动2,归纳： （1）一元二次方程 的根是由一元二次方程的系数 确定的； （2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在 的前提下，把 各个 系数的值代入求根公式，可求得方程的两个根 ； （3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根 .,1用公式法解下列方程，根据方程根的 情况你有什么结论？,活动3,活动3,结论,（1）当 时，一元二次方程 有实数根,活动3,结论,（2）当 时，一元二次方程 有实数根,活动4,结论,（3）当 时，一元二次方程 无实数根.,活动5,2某养鸡厂的矩形鸡舍长靠墙，现在有材料可以制作竹篱笆13米，若欲围成20平方米的鸡舍，鸡舍的长和宽应是多少？能围成22平方米的鸡舍吗，若可以求出长和宽，若不能说明理由。 （课件：围矩形场地）,例： 解方程 ( 1 ) 3y2-2y=1,一般步骤： （1）先把方程化为一般形式 （2）确定a,b,c （3）判定=b2-4ac的值 （4）代入求根公式,（2）,复习引入:,1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 x2 4=0,一元二次方程的解法(4) -因式分解法,自学检测题,1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？,2、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？,3、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么?,4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般形式吗？,例：解方程：x2=3x,解：移项，得x2-3x=0,将方程左边分解因式，得x(x-3)=0,x=0 或x-3=0,原方程的解为：x1=0 x2=-3,这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。,特点：在一元二次方程的一边是0， 而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式 分解法来解。,例1、解下列方程 1、x23x10=0 2、(x+3)(x-1)=5,解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 (x5)(x+2)=0 x2+2x8=0 (x2)(x+4)=0 x5=0或x+2=0 x2=0或x+4=0 x1=5 ,x2=-2 x1=2 ,x2=-4,用因式分解法解一元二次方程的步骤,1o方程右边化为 。 2o将方程左边分解成两个 的乘积。 3o至少 因式为零，得到两个一元一次方程。 4o两个 就是原方程的解。,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,快速回答：下列各方程的根分别是多少？,例2 解下列方程：,（1） x2-3x-10=0,（2） （x+3）（x-1）=5,填空题练习：,（1）方程x（x+1）=0的根是_.,（2）已知x=0是关于x的一元二次方程 （m+1）x2+3x+m2-3m-4=0的一个根， 则m=_.,（3）若方程ax2+bx+c=0的各项系数之和 满足a-b+c=0，则此方程必有一根是_.,选择题训练 1.对于方程(x-a)(x-b)=0,下列结论正确的是( ) （A） x-a=0 （B）x-a=0或x-b=0 （C） x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 2、方程x(x-2)=2(2-x)的根为( ) （A）-2 （B）2 （C） 2 （D）2、2 3、方程(x-1)=(1-x)的根是( ) （A）0 （B）1 （C）-1和0 （D）1和0,B,C,D,用因式分解法解下列方程：,y2=3y,(2a3)2=(a2)(3a4),x2+7x+12=0,(x5)(x+2)=18,t(t+3)=28,(4x3)2=(x+3)2,我最棒 ,用分解因式法解下列方程,参考答案：,1. ;,2. ；,4. ;,2.解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法,小 结：,1o方程右边化为 。 2o将方程左边分解成两个 的乘积。 3o至少 因式为零，得到两个一元一次方程。 4o两个 就是原方程的解,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：,右化零 左分解 两因式 各求解,简记歌诀：,一元二次方程应用,例1.某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月增长的百分率是多少?,分析:2月份比一月份增产 吨. 2月份的产量是 吨 3月份比2月份增产 吨 3月份的产量是 吨,5000(1+x),5000x,5000(1+x)x,5000(1+x)2,解:平均每个月增长的百分率为x 列方程 5000(1+x)2 =7200 化简 (1+ x)2 =1.44 x1=0.2 x2=-2.2 检验: x2= -2.2(不合题意), x1=0.2 =20% 答:平均每个月增长的百分率是20%.,例2:某月饼原来每盒售价96元,由于卖不出去，结果两次降价,现在每盒售价54元,平均每次降价百分之几?,总结:1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来量为a,平均增长率是x,增长后的量为A 则 第1次增长后的量是A=a(1+x) 第2次增长后的量是A=a(1+x)2 第n次增长后的量是A=a(1+x)n 这就是重要的增长率公式.,2.两次降价后价格=原价格(1-降价率)2 公式表示：A=a(1-x)2,一.复习填空: 1、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产 个？ 增长率是多少 。 2、银行的某种储蓄的年利率为6%，小民存 1000元，存满一年，利息= 。 存满一年连本带利的钱数是 。,200,20%,1060元,利息= 本金利率,增长量=原产量 增长率,60元,4.康佳生产一种新彩霸,第一个月生产了5000台,第二个月增产了50%,则:第二个月比第一个月增加了 _ 台,第二个月生产了 _ 台;,500050%,5000(1+50%),3.某产品，原来每件的成本价是500元，若每件售价625元，则每件利润是 .每件利润率是 .,利润=成本价利润率,125元,25%,例3, 某科技公司研制成功一种产品,决定向银行贷款200万元资金用于这种产品,签定的合同上约定两年到期一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后,由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元.该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,求这个百分数？,解：设这个百分数为x，依题意得： 200(1 + x)2 = 72 + 200(1 + 8%) (1 + x)2 = 1.44 1 + x = 1.2 , 则 x1 = 0.2 , x2 = - 2.2 (不合题意，舍去.）,利息为本金的8%,四川省中考题,甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？,解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（ x 6）个零件， 依题意,得,经检验X=15是原方程的根。,答：甲每小时做18个，乙每小时12个,请审题分析题意 设元,我们所列的是一个分式方程，这是分式方程的应用,由x18得x6=12,等量关系：甲用时间=乙用时间,解这个方程,得,1、 甲、乙两人练习骑自行车，已知甲每小时比乙多走6千米，甲骑90千米所用的时间和乙起骑60千米所用时间相等，求甲、乙每小时各骑多少千米？,2、甲、乙两种商品，已知甲的价格每件比乙多6元，买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等，求甲、乙每件商品的价格各多少元