统计机率概论及机率分配

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餘集律：(AB)=AB(AB)=AB*符號說明：X：隨機變數，P：機率，p：不合格率p(x)：機率密度函數(離散型)f(x)：機率密度函數(連續型)F(x)：累積機率分配函數(連續型、離散型)EX = m (期望值)，VX = s2 (變異數)m ：母體平均值，s2：母體變異數：樣本平均值，S2：樣本變異數*3.2 機率的概念 機率論是現代統計學的基礎。機率是為了衡量不確定結果，而建構出來的一種測度。其中基本的概念為： 機率空間(Probability Space)：系統中，集合所有可能出現的事件而構成的一個抽象空間，通常以W表示。有時亦稱樣本空間(Sample Space)或結果空間(Outcome Space)。 事件(Events)：系統中我們所要討論合理且可能發生的現象，是機率空間的基本元素。 隨機實驗(Random Experiment)：可能出現的結果有很多種，重複實驗時無法明確預知得到什麼結果的實驗方式。 隨機變數(Random Variables)：定義在機率空間的一個量測機率的工具，通常以一個一對多的不確定函數表示。它對實驗的每一種結果指定一數值與之對應。或將文字敘述轉換成數字敘述(將實驗結果以數值表示，省略一一列出可能實驗結果的煩雜)。常以X表示之，且其結果常符合某一特定分配。函數係針對定義域與對應域(值域)之間一對一或多對一的關係，即輸入某一數值就對應輸出另一數值，過程與結果均是確定的(Deterministic)。但當輸入一事件卻可能出現好幾種其他情況時，如擲一骰子對應的是可能出現6種情況，此即隨機變數。簡言之，隨機變數是一種多的廣義函數。實數值x(事件)之機率P(X=x)決定機率分配函數p(x)。範例、某品牌相同原子筆n支，內有不合格品，某同學任意選1支，試寫出樣本空間？(合格品=G，不合格品=NG)W = G，NG=21若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X的可能值有0，1；W = X|0，1；如x=1=NG(X：隨機變數表選得不合格品數；x：事件)範例、承上題，某同學任意選2支，試寫出樣本空間?W = (G，G)，(G，NG)，(NG，G)，(NG，NG) =22若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2如x=1=(G，NG)，(NG，G)範例、承上題，某同學任意選3支，試寫出樣本空間?W = (G，G，G)，(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)，(G，NG，NG)，(NG，G，NG)，(NG，NG，G)，(NG，NG，NG) =23若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X的可能值有0，1，2，3；X = X|0，1，2，3如x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)實驗檢驗真理，真理只有一個。然隨機實驗中，其產生之結果是不確定的(Uncertainty)。機率就是衡量此不確定結果，而建構出來的一種測度。如何決定機率值-決定機率值的方法(1)理論機率=古典機率=機會均等機率 樣本空間W內有n(W)個元素，若事件A為W之部份集合，含n(A)個元素，則事件A的機率為：P(A)= n(A)/ n(W)範例、承上題，某同學任意選1支，為不合格品之機率?n(W)=21事件= NGn(A)=1 P(A)= 1/ 2若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X 的可能值有0，1；W = X|0，1；則x=1=NGP(A)= n(A)/ n(W)P(x=1) =P(NG)=1/2範例、承上題，某同學任意選2支，有1不合格品之機率?n(W)=22事件= (G，NG)，(NG，G)n(A)=2 P(A)= 2/22=1/2若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X 的可能值有0，1，2；X = X|0，1，2x=1=(G，NG)，(NG，G) ； P(x=1) =P(G，NG)，(NG，G)= 2/4 =1/2範例、承上題，某同學任意選3支，有1不合格品之機率?n(W)=23事件=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)n(A)=3 P(A)= 3/23=3/8若以不格合品數目表示(隨機變數之概念，轉換成數字)X的可能值有0，1，2，3；X = X|0，1，2，3則x=1=(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)P(x=1) =P(G，G，NG)，(G，NG，G)，(NG，G，G)= 3/8 計算理論機率的方法亦稱古典方法，此法依靠抽象的推理與邏輯分析，而不必進行實際的試驗。(2) 經驗機率=客觀機率 一隨機實驗重複試行n次，其中A事件共發生fA次，則A事件發生之機率可視為發生次數與總次數比：P(A)= fA/n當實驗的次數愈多，事件的相對次數比將愈趨穩定；即P(A)=fA/n(3)主觀認定機率 一事件發生之機率，常由人們對此事的經驗，或心理的感覺而決定。此機率較有爭議。機率公設在樣本空間W中，事件A發生的機率記做P(A)，機率必須符合以下公設：(1) P(W)=1，P()=0(2) P(A)0(3) P(A)=1-P(A)，其中A=W-A(4) 若BW，P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)樣本空間計算基本法則法則一(加法原理)：完成一件事有二種方式，第一種方式有n1種方法，第二種方式有n2種方法，則完成此事件共有n1+n2種方法。法則二(乘法原理)：完成一件事有k個階段，第一階段有n1種方法，第二階段有n2種方法，第k階段有nk種方法，則完成此事件共n1n2nk種方法。法則三：在n個不同事物中，任取r個予以組合，其方法有C(n, r)=n!/(n-r)!r!。範例、甲、乙二人擲骰子，約定甲擲出點數是1, 2時，甲可得2元；點數是3, 4時可得4元；點數是5時可得10元；點數是6時，則甲需付給乙20元。令X表擲骰子後甲所得的錢，求X的機率分佈?W=1, 2, 3, 4, 5, 6；n(W) = 6X的可能值有2，4，10，-20；X=X|2, 4, 10, -20P(x=2) =P(1, 2)= n(A)/n(W) = 2/6 P(x=4) =P(3, 4)= n(A)/n(W) = 2/6P(x=10) =P(5)= n(A)/n(W) = 1/6P(x=-20) =P(6)= n(A)/n(W) = 1/6x2410-20p(x)2/62/61/61/6p(x) (x) p(x=2)1)p(x=4)p(x=10)p(x=-20)x=2x=4x=10x=-20範例、甲擲一枚銅板2次，令X表出現正面的次數，求X的機率分佈?W=正正, 正反, 反正, 反反；n(W) = 4X的可能值有0, 1, 2；X=X|0, 1, 2P(x=0) =P(反反)= n(A)/n(W) = 1/4 P(x=1) =P(正反, 反正)= n(A)/n(W) = 2/4P(x=2) =P(正正)= n(A)/n(W) = 1/4x012p(x)1/42/41/4p(x)p(x=0)p(x=1)p(x=2)x=0x=1x=2上述二範例均為離散型資料係屬離散型隨機變數，即實驗結果其對應之數值只有可數的幾種可能值，且可一一列出此種情況，以機率P(X=x)決定機率分配函數p(x)(離散型)。反之，連續型資料係屬連續型隨機變數，即實驗結果其對應之數值不能列出各種可能值，則以機率P(Xa)決定機率分配函數f(x) (連續型)。3.3 統計獨立與條件機率定義：統計獨立(Statistically Independent)在樣本空間W中有兩事件A與B，若A發生的機率不受B影響，即P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與B為統計獨立。範例：(獨立無關聯)愛足球不愛足球合計男648252900女7228100P(男)=900/1000=0.9；P(女)=100/1000=0.1=1-0.9P(愛足球)=(648+72)/1000=0.72P(不愛足球)=(252+28)/1000=0.28=1-0.72P(男愛足球)=648/1000=0.648P(男不愛足球)=252/1000=0.252P(女愛足球)=72/1000=0.072P(女不愛足球)=28/1000=0.028由於P(男愛足球) =0.648= P(男) P(愛足球)P(男不愛足球) =0.252= P(男) P(不愛足球)P(女愛足球) =0.072= P(女) P(愛足球)P(女不愛足球) =0.028= P(女) P(不愛足球)定義：互斥事件(Disjoint Events)在樣本空間W中有兩事件A與B，若其集合無共同元素，即AB= ，則稱事件A與B互斥。P(AB)= 0。定義：條件機率在樣本空間W中有兩事件A與B。在事件A已發生的條件下，事件B發生的機率稱為條件機率，以P(B|A)表示，則P(B|A)=P(B A)/P(A)。範例、擲一枚銅板2次，求2次均出現相同結果下，至少出現一次正面的機率?W=正正, 正反, 反正, 反反；n(W) = 4A：2次均出現相同結果=正正, 反反；n(A)=2P(B|A) = P(B A)/P(A) = (1/4)/(1/2) = 1/2範例、甲到玉市購玉，已知某玉店的10塊玉中有4塊為膺品。甲欲買該店2塊玉，則2塊均為真品的機率?設A為第一塊玉為真品的事件，B為第二塊玉為真品的事件，則P(B A) = P(A) P(B|A)= (6/10)*(5/9) = 1/3定理：貝氏定理設B1, B2,Bn為互斥事件，且事件A為含有各種事件Bi某種共同特性之任意事件。在事件A已發生情況下，則事件Bk發生之機率為P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)/P(Bi)P(A|Bi)範例、甲製造車廠有二條生產線B1 , B2，分別各佔60%和40%的生產量。已知生產線B1有2%的不合格率，生產線B2有3%的不合格率，茲某人購買該車廠乙部車有瑕疵，則此車為生產線B1之產品的機率？B1= 0.6B2= 0.4A/ B1=0.02A/ B2=0.03P(B1) = 0.6，P(A| B1) = 0.02；P(B2) = 0.4，P(A| B2) = 0.03P(B1) = P(B1)P(A| B1)/P(B1)P(A| B1)+P(B2)P(A| B2)=(0.6)(0.02)/(0.6)(0.02)+(0.4)(0.03)= 0.53.4 機率分配函數及其特徵值機率分配函數(Probability Distribution Function)可了解事件在機率空間中，其密度分佈的情況，或樣本在母體中出現的頻率的情形。機率分配函數通常指累積機率分配函數(cdf, Cumulative Probability Distribution) 以F(x)表示之，或機率密度函數(pdf, Probability Density Function)分別以p(x)-離散型與f(x)-連續型表示之。機率分配之性質x離散型： (1)0 p(xi) 1所有xi值(2)P(X = xi) = p(xi)所有xi值(3)Sp(xi) = 1所有xi值x連續型： (1)0 f(x)(2)P(a x b) =f(x)dx(3) f(x)dx = 1一個隨機變數X之累積機率分配函數F(x)定義為：F(x) = P(Xx)F(x)表示隨機變數X之值小於或等於x的機率。x1X x2時P(x1X x2) = F(x2)-F(x1)F(x)具有下列性質(a) F(x)是遞增函數，即若a b，則F(a) F(b)(b) limx -F(x)=0,limx F(x)=1(c) F(x)是右連續函數擲1骰子2次，令隨機變數X為2次點數之和x23456789101112p(x)1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36F(x)1/363/366/3610/3615/3621/3626/3630/3633/3635/361P(5 X 9) = F(9) F(5) = 30/36 10/36 = 20/36平均值、變異數與期望值一個機率分配的平均值是其集中趨勢。其定義為m =xf(x)dx連續型m = Sxp(x) (所有x值)離散型亦可將平均值表示為隨機變數X的期望值(Expected Value)。其定義為m = EX =xf(x)dx連續型m = EX = Sxp(x) (所有x值)離散型其中E代表為期望值運算子(Expected Value Operator)。一個機率分配的變異數是其離散趨勢。其定義為s2= (x-m)2f(x)dx連續型s2 = S (x-m)2p(x) (所有x值)離散型亦可將變異數以期望值表示。其定義為s2 = E(x-m)2另變異數的使用亦可定義為變異數運算子(Variance Operator) V表示VX = E(x-m)2= s2有關隨機變數X之平均值 m 與變異數s2與常數c，則(1) Ec = c(2) EX = m(3) EcX = c EX = cm(4) Vc = 0(5) VX = s2= EX2 - m2(6) VcX = c2s2(7) EX1+X2 = EX1+EX2 = m1+ m2(8) VX1+X2 = VX1 + VX2+ 2CovX1, X2其中 CovX1, X2 = E(X1-m1)(X2-m2)為隨機變數X1與X2之共變異數(Covariance)。如X1與X2是獨立的，則CovX1, X2=0。(9) VX1-X2 = VX1 - VX2+ 2CovX1, X2倘X1與X2是獨立的，則(10) VX1-X2 = VX1 + VX2= s21+ s22(11) EX1X2 = EX1 EX2 = m1 m2一般而言，X1與X2是否獨立(12) EX1 / X2 EX1 / EX2範例：每天大型生日蛋糕銷售量(X)銷售量012345機率0.10.10.20.30.20.1EX00.10.40.90.80.52.7EX200.10.82.73.22.59.3VX9.3 2.72 = 2.01範例：投資電子股股票的投資報酬率(X)可能投資報酬率-10-6515機率0.10.30.40.2EX-1-1.8232.2E2X + 32 EX+3 = 2*2.2 + 3 = 7.4EX21010.8104575.8V2X + 34(75.8 2.22) = 283.84習 題1、下列何種抽樣方法，抽樣作為估計群體誤差為最小(1)單純隨機抽樣法(2)系統抽樣法(3)分層隨機抽樣法(4)集體抽樣法(5)視情形。2、亂數表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在50件(編號0049)要抽5件時，則抽樣第5件之編號為( 16 )。3、進貨50件，系統抽樣，要抽5件，若第一件為編號3，則第四件之編號為（ 33 ）。4、一班學生50人之重量(群體/樣本)一桶溶液取一杯量來分析，一杯量為(群體/樣本)每批中取30個量測尺寸(群體/樣本)100箱（當抽樣數為5）該箱可視為(無限群體/有限群體)30箱(當抽樣數為5時)該箱可視為(無限群體/有限群體)5、亂數表 03 92 18 27 46 57 99 16 96 56 30，若在1000件(編號000999)要抽五件時，則抽樣第3件之編號為( 274 )6、不良品A類10件，B類3件，C類6件，D類2件，E類4件，繪製柏拉圖，則於柏拉圖內第三要項之累積不良比率( 80% )。A: 10/25=40%, B: 3/25=12%, C: 6/25=24%, D: 2/25=8%, E: 4/25=16%, (40+24+16)%=80%7、不良品A類10件，B類3件，C類6件，D類2件，E類4件，B類在百分比圖中之%為( 12 )。8、同上，扇形圖A類之圖心角度( 144 )。9、次數分配表之組中點為3.5，5.5，7.5，9.5，11.5試求組距( 2 ) 。10、直方圖向規格上下限伸展時，表示變異過大平均數過小平均數過大變異過小平均數過小，變異也變小。11、一組數字 1，4，7，9，Y 其R值10求Y。9-Y=10, Y=-1 or Y-1=10, Y=1112、23，21，22，20，X 平均值23求X。(23+21+22+20+X)/5 = 23, X=2913、1，3，5，7，9 求樣本變異數及樣本標準差。8, 2(2)0.514、某批取12個量測尺寸，其數據之特性必有(中位數/平均數/眾數)。15、常態分配平均值3，標準差0.2，則2.63.4間之次數約佔全部次數之( 95.45 % )。16、和中心值無關統計量(標準差/平方和/R值/平均偏差/變異數)。17、寫出1至30中可被5整除之集合。5, 10, 15, 20, 25, 3018、集合B=XX2+6X+5=0求B= -1, -5 19、A=1，3 B=3，5，6 C=1，3，5，8AB=1, 3, 5, 6 AB= 3 A-B=120、樣本空間=1，2，3，4 A=1，2 B=3A=3, 4 A-B=1, 2, (AB)=1, 2, 3=4, BA=33, 4=321、某公司有五架同型電視機，內有二架故障，王小姐任意挑選二架，試寫出樣本空間=G G, G NG, NG G, NG NG22、一批製品有4個良品，3個疵品，自其中抽取二個時，其樣本空間以不良品數目表示時，其樣本空間為G G, G NG, NG G, NG NG= X| 0, 1, 2。23、一銅幣，其出現正反面之機會相等，擲一銅幣二次，樣本空間以正面出現次數表示，樣本空間為正正, 正反, 反正, 反反=X| 0, 1, 2。24、某製程要控制溫度，原料及水份，今考慮有4種水準的溫度，5種原料及2種不同水份，則製造方法共有( 4*5*2=40)種方法。25、7題是非題總共有幾種答法。26、求C(20，4)= 4845 ；C(100，3)=； C(100，97)=27、從10件製品送驗批中，任取3件加以檢驗，選取的方法有多少種？C(10,3)=12028、五男三女選4人組成委員會，可能組成若干委員會(2男2女)。 C(5,2)*C(3,2)=30 29、撲克牌52張中，隨機取出4個，全部均為紅磚的機率(C(13,4)C(39,0)/C(52,4)=0.00264)。30、投一個六面骰子，出現偶數的機率= ( 1/2 )。31、投二個六面骰子，出現和大於10機率= ( 1/12 )。32、P(A-B)=0.4 P(AB)=0.7 求P(B)=？ P(B)=0.333、設A，B為互斥事件P(A)=0.4 P(B)=0.5 P(AB)=(0.9)P(AB)=( 0 )P(A)=( 0.6 ) P(AB)=(0.5 ) P(AB)=( 0.4 )。34、P(A)=0.3， P(B)=0.4，P(AB)=0.7 則 P(AB)=( 0 )。35、P(A)=0.4 P(AB)=0.7 P(B)=Y 若A及B互斥事件則Y=(0.3 )36、P(ABCD)寫出上列公式。37、P(AB)=0.8 P(B)=0.6 P(A)=0.2 P(AB)=( 0 )。38、P(B)=0.6 P(AB)=0.4 P(AB)=(0.4/0.6= 2/3 )。39、A，B，C互斥事件，P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1求P(A(BC)=(0.5 )。=P(B C)=P(B)+P(C)-P(B C)= P(B)+P(C)=0.1+0.440、A，B，C互斥事件，P(A)=0.2 P(B)=0.4 P(C)=0.1 P(ACB)=(0.2+0.1)/0.6=1/2 )41、P(B)=0.6 P(AB)=0.4 P(AB)=( 2/3 )42、A，B二罐子，A罐裝50個甜糖果，40個酸糖果，B罐裝60個甜糖果，30個酸糖果，今拿出一糖果並試出其為甜者，試問此糖從A罐取出之機率為何？A：取A罐之事件 B：取B罐之事件； D：甜糖果之事件；甜糖果，從A罐取出之機率，即求P(AD)=P(AD)/P(D)P(D)=P(AD)+P(BD)=P(A)P(DA)+P(B)P(DB)=(1/2*50/90+1/2*60/90=11/18 )P(AD)=P(AD)P(D)=(1/2*50/90)/(11/18)=5/11 )43、設A和B互相獨立，P(A)=0.4，P(AB)=0.9則 P(B)=( 5/6 )P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)0.9=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=5/644、A，B獨立P(A)=13 P(B)=12，A和B同時發生之機率=( 1/6 )45、P(A)=0.4 P(AB)=0.7 P(B)=Y若A，B為獨立事件則Y=( 1/2 )P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B)= P(A)+P(B)-P(B)P(A)0.7=0.4+ P(B)-0.4P(B) P(B)=1/246、A打靶命中率0.9，B打靶命中率0.8，若P(A)=0.9 P(B)=0.8，P(AB)=( 0.72 )，則P(AB)=(0.9+0.8-0.8*0.9=0.98 )47、某校IQ平均值110，標準差9，契畢懈夫定理計算至少含3/4 IQ之區間。( 92, 128 )48、某校IQ平均值110，標準差9，謝比雪夫定理計算，(78.5，141.5)區間內次數之%。( 91.8% )49、常態分配平均值3，標準差0.2，則2.63.4間之次數約佔全部次數之( 95.45% )。若未知其分配型態則2.53.5間之次數約佔全部次數最少為( 84% )。50、致遠工管統計學期末考，到考學生100人，平均分數為55分，標準差為5分，試問考生分數在4070分間有幾人？(a) 謝比雪夫不等式，(b) 常態分配。51、假設隨機變異X之機率密度函數如下：，試求P(x 2)、EX，VX52、某天麻豆空氣污染指數是75，試問(a) 依馬可夫不等式求其空氣污染指數大於100之機率？(b) 已知標準差為5，依謝比雪夫不等式求其空氣污染指數大於50，小於100之機率？常用的機率分配與統計分配當獲得母體的樣本資料時，須從各種機率分配當中，選擇出最接近該母體的機率分配，使樣本資料與母體參數有最佳的推論與檢定能力。常用的機率分配有：離散型與連續型二大類。3.5 離散型機率分配離散型機率分配(p)-常見有二項分配、卜氏分配、離散型均勻分配、超幾何分配。若一隨機實驗只有成功和失敗兩種結果，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。令隨機變數x = 1代表成功的事件，x = 0代表失敗的事件，此稱隨機變數X服從白努依分配(Bernoulli Distribution)。x10P(x)p1-pEX1p0(1-p)VX=EX2-(EX)2p(1-p)p(x) = P(X=x) = px(1- p)1-x(1) 二項分配(Binomial)-執行n次白努利隨機試驗，事件成功發生的機率為p，事件失敗發生的機率為1-p。通常以隨機變數XB(n, p)表示。其機率密度函數與累積分配函數為：p(x) = C(n, x) px (1-p)n-x x =0, 1,n F(x) =C(n, k) pk (1-p)n-k其期望值與變異數為：EX = npVX =np(1-p) Excel : pp. 99-100, Bernoulli Distribution pp. 101-110, Binomial Distribution範例、致遠管理學院約有40%的學生喜歡打籃球，茲隨機機訪問1個學生，試問(a) 此學生喜歡打籃球的期望值與變異數? (b) 隨機機訪問5個學生，此5個均喜歡打籃球的期望值與變異數? 有2個均喜歡打籃球的期望值與變異數? 至少有3個喜歡打籃球的期望值與變異數?SOL：公式、查表、Excel(binomdist(x,n,p,true)(a) 令隨機變數X代表喜歡棒與否，則(注意:N/Y)EX = p = 0.4 VX = p(1-p) = 0.24(b) 令隨機變數X代表喜歡棒的人數，則(注意:人數)EX = np = 5* 0.4 = 2 VX = np(1-p) = 1.2P(X=2) = C(5,2)(0.4)2 (0.6)3 = 0.346/binomdist(2,5,0.4,false)/P(X 3) = 1- P(X 2) = 0.317/1-binomdist(2,5,0.4,true)/範例、工管系期末考統計學出20題選擇題(4選1)，每題5分。某學生採完全以猜的方式作答，試問(a) 此學生答對數的期望值與變異數? (b) 此學生期末考統計學分數的期望值與變異數? (c) 此學生考及格的機率? (d) 此學生最多考40分的機率? SOL：公式、查表、Excel(a) 令隨機變數X代表此學生答對題數，則(注意:題數)EX = np = 20* 1/4 = 5 VX = np(1-p) = 3.75(b) 分數期望值(注意:分數)E5X = 5EX = 25 V5X = 25*3.75 = 93.75(c) 此學生須答對12題以上才能及格，因此，P(X 12) = 1- P(X 0F(x) = 1- e-x/l其期望值與變異數為：EX= lVX = l2範例、工管系舉行迎新烤肉活動，地點是曾文水庫。歸來時大家快樂的走到候車亭等往麻豆的台南客運。不巧，同學們剛到候車亭時，車子正好剛開走。康樂股長看看站牌上寫著：往麻豆班車平均每20分鐘開一班。 (a) 同學們最多再等10分鐘之機率? (b) 超過30分鐘之機率?SOL：公式、查表、Excel令隨機變數X代表台南客運到達時間間距，XExp(l) = Exp(20)，則(a) F(x) = P(x 10) = 0.39/=expondist(10,1/20,true)/(b) P(x 30) = 0.2231/=1-expondist(30,1/20,true)/(3) 常態分配(Normal )應用最廣的機率分配，其貼切地模式化或描述很多自然現象或社會科學實例。通常以隨機變數XN(m,s2)表示。其機率密度函數與累積分配函數為：-m0其期望值與變異數為：EX = mVX = s2常態分配具有以下各項特性：(a) 是一以平均值m為中心線，呈左右對稱鐘狀圖形的分配。s愈大，分配偏離中心m愈遠，曲線圖愈平緩。(b) 母體的平均值、眾數、中位數均相同值。(c) 機率分配函數圖形向曲線中心的兩端延伸，該漸趨近橫軸(即機率函數值遞減)。 通常將其XN(m, s2)標準化。標準化過程是令Z=(X-m)/s則ZN(0, 1)，又稱Z分配。標準常態機率密度函數,-x標準常態分配之期望值與變異數為：EX = 0,VX = 1範例、工管系期末考統計學成績，經整理得知具有N(50,16)，試問成績於5060的人數，大概佔所有參加考試人數的比例為多少? 公式、查表、ExcelSOL：令隨機變數X代表考試成績，其具有N(50,16)，則P(50 X 60) = P(50-50)/4 (x-50)/4(60-50)/4=0.494/=normdist(60,50,4,true)-normdist(50,50,4,true)/範例、工管系某品管實驗，經整理資料得知具有N(0.3,0.012)，老師規定此實驗規格應為0.30.02之間才合格。試問此實驗不合格的比率有多少?SOL：公式、查表、Excel令隨機變數X代表實驗資料，其具有N(0.3,0.012)，則P(0.28x0.32)=P(0.28-0.3)/0.01(x-0.3)/0.01(0.32-0.3)/0.01=0.9544/=normdist(0.32,0.3,0.01,true)-normdist(0.28,0.3,0.01,true)/(4) 伽瑪分配Gamma Distribution如隨機變數X，具有以下的機率密度函數，則該分配稱之為伽瑪分配：其中a、b是伽瑪分配的參數，其值均大於0。Where the gamma function G is defined as: 伽瑪函數將被運用到數個統計量分配-Chi-Square, t, F Distribution。3.7常用的統計分配母體樣本分配、參數統計量隨機抽取推 論檢定計算描述如何將樣本資料x1, x2,xn推估母體參數(m, s2)，此種由抽樣資料推論母體的長像，統計上稱為統計推論。為了推論母體所服從的機率分配，即推論該機率分配的母體(m,s2)。從母體中抽取數個樣本，利用這些樣本組成所謂的樣本統計量，而樣本統計量所服從的機率分配