2018_2019学年高中数学第四章定积分1定积分的概念教案（含解析）北师大版.docx

1定积分的概念如图，阴影部分是由抛物线f(x)x2，直线x1以及x轴所围成的平面图形问题1：通常称这样的平面图形为什么？提示：曲边梯形问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和问题3：你能求出近似值吗？提示：能不妨将区间0,1五等分，如图所示求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S1或S2，即为曲边梯形面积S的近似值问题4：如何更精确地求出阴影部分的面积S?提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确1定积分的概念给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2xn1”“x2dx.(2)如图：xdx表示OAB的面积，xdx表示梯形ABDC的面积，故xdx(2)4.利用定积分的几何意义，说明下列等式(1) 2xdx1；(2)dx.解：(1)如图1，2xdx表示由曲线y2x，直线x0，x1，y0所围成的图形(直角三角形)的面积，由S211，故2xdx1.(2)如图2，dx表示圆x2y21在第一象限部分的面积由S圆，得dx.利用定积分的性质求定积分例3求解以下各题：(1)若 f(x)g(x)dx3， f(x)g(x)dx5，则f(x)dx_.(2)若2f(x)dx5，则 2f(x)dx_.思路点拨涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分的性质进行求解精解详析(1)依题意知f(x)dxg(x)dx3，f(x)dxg(x)dx5，两式相加，得2f(x)dx2，故f(x)dx1.(2)2f(x)dx2f(x)dx5，f(x)dx.于是 2f(x)dxba.答案(1)1(2)ba一点通利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可以利用定积分的性质分解求值5若f(x)dx3，g(x)dx2，则 f(x)g(x)dx_.解析： f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx325.答案：56设f(x)求f(x)dx.解：f(x)f(x)dx (x1)dx (2x4)dx.又由定积分的几何意义得 (x1)dx(12)1， (2x4)dx121，f(x)dx1.(1)定积分f(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，所得值也不同(2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f(x)所表示的图形以及积分上、下限1下列等式不成立的是()A. mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB. f(x)1dxf(x)dxbaC. f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD. sin xdxsin xdxsin xdx解析：选C由定积分的性质知选项A，B，D正确，故选C.2定积分(3)dx()A6B6C3 D3解析：选A3dx表示图中阴影部分的面积S326，(3)dx3dx6.3求由曲线yex，直线x2，y1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分上限和积分下限分别为()Ae2,0 B2,0C2,1 D1,0解析：选B解方程组 可得所以积分上限为2，积分下限为0.4对于由直线x1，y0和曲线yx3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()A. B.C. D.解析：选A将区间0,1三等分为，各小矩形的面积和为s10333.5已知f(x)dx6，则6f(x)dx_.解析：6f(x)dx6f(x)dx36.答案：366计算dx_.解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积易知AB，AOB，故S阴41.答案：7已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1) 3x3dx；(2) 6x2dx；(3) (3x22x3)dx.解：(1) 3x3dx3x3dx3312.(2) 6x2dx6x2dx66126.(3) (3x22x3)dx3x2dx2x3dx