四川高中数学第二章圆锥曲线及方程第5课时双曲线的简单几何性质同步测试新人教A版选修.docx

第5课时双曲线的简单几何性质基础达标(水平一 )1.双曲线9y2-16x2=144的渐近线方程为().A.y=xB.x=yC.y=xD.x=y【解析】令9y2-16x2=0,可得渐近线方程为y=x.【答案】C2.若双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r0)相切,则r等于().A.B.2C.3D.6【解析】由题可知,双曲线的渐近线方程为y=x,圆的圆心为(3,0).由题意得圆心到渐近线的距离等于圆的半径r,即r=.【答案】A3.对于方程-y2=1和-y2=(0且1)所分别表示的双曲线有如下结论:有相同的顶点;有相同的焦点;有相同的离心率;有相同的渐近线.其中正确结论的序号是().A.B.C.D.【解析】对于方程-y2=1,a=2,b=1,c=;对于方程-y2=,a=2,b=,c=.显然a,b,c分别是a,b,c的倍,因此有相同的离心率和渐近线.【答案】C4.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是().【解析】由题意,方程可化为y=mx+n和+=1,B,D选项中,两椭圆中m0,n0,但直线中m0,m0,矛盾;C选项中,双曲线中m0,n0,n0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点分别为双曲线E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则双曲线E的离心率是.【解析】假设点A在第一象限,点B在第四象限,则A,B,所以|AB|=,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-(舍去),所以双曲线E的离心率为2.【答案】26.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1AF2B,则双曲线C的离心率为.【解析】由双曲线定义得AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因为F1AF2B,所以cosF2F1A=-cosF1F2B,再利用余弦定理得=-,化简得2e2-3e-1=0,又e1,所以e=.【答案】7.已知双曲线的中心在原点,离心率为2,一个焦点F是(-2,0).(1)求双曲线的方程;(2)设Q是双曲线上一点,且过点F,Q的直线l与y轴交于点M,若|=2|,求直线l的方程.【解析】(1)由题意可设所求的双曲线方程为-=1(a0,b0),e=2,c=2,a=1,b=,所求的双曲线方程为x2-=1.(2)直线l与y轴相交于点M且过焦点F(-2,0),直线l的斜率一定存在.设直线l的方程为y=k(x+2),令x=0,得点M(0,2k).|=2|且M,Q,F三点共线于l,=2或=-2.当=2时,xQ=-,yQ=k,Q.又点Q在双曲线x2-=1上,-=1,k=.当=-2时,同理可将点Q(-4,-2k)代入双曲线方程,得16-=1,k=,故所求直线l的方程为y=(x+2)或y=(x+2).拓展提升(水平二)8.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,若F1PF2=,则e等于().A.B.C.D.3【解析】由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2c|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=8c2,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=4c2,从而解得|PF1|PF2|=c2(|PF1|-|PF2|)2=8c2-4a2=e=.故选A.【答案】A9.中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为().A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】=,=,=,=,=.又双曲线的焦点在y轴上,双曲线的渐近线方程为y=x,故所求双曲线的渐近线方程为y=x.【答案】D10.已知双曲线-=1(b0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在双曲线上,则=.【解析】由渐近线方程为y=x知,=1,即b=,因为点P(,y0)在双曲线上,所以y0=1.当y0=1时,P(,1),F1(-2,0),F2(2,0),所以=0;当y0=-1时,P(,-1),=0.【答案】011.已知双曲线C:-y2=1,P是C上的任意一点.(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.(2)若点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.【解析】(1)设P(x1,y1)是C上任意一点,由题可知,双曲线的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0.所以点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是和,所以=.故点P到双曲线C的两条渐近线的距