幂级数与Taylor级数小结.ppt

Chapter 7(7),幂级数与Taylor级数小结,一. 内容小结,(一) 幂级数,1. 定义,2.阿贝尔(Abel)定理:,3. 幂级数的收敛半径与收敛域,正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域为一个区间:,规定,4. 收敛半径与收敛域的求法,(1) 标准幂级数,注意: 若缺项, 则用比值法.,(2) 一般幂级数,方法 1.,(2)由标准幂级数收敛半径的求法可得：,端点情况另讨论.,方法 2.,(用比值法讨论),5. 幂级数的性质,加减法,乘法,(其中,除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),连续性,可导性,(收敛半径不变),可积性,(收敛半径不变),(二) Taylor级数,1. 定义,函数 f (x) 的幂级数展开式是唯一的.,2. 展开的方法,直接展开法,间接展开法,利用已知的函数的展开式，根据幂级数展开式的唯一 性，通过适当的变量替换、四则运算、复合及微分、 积分等将一个函数展开成幂级数。,常用的展开式有：,(三) Fourier级数,1. 基本概念,定义1.,定义2.,定义3.,为 f (x) 的Fourier系数.,具有Fourier系数的三角级数:,2. 收敛定理,3. 奇偶函数的Fourier级数,4. 在任意区间l, l上的Fourier级数,设f(x)是以2l为周期的周期函数,且满足收敛定理的条件,则有,则有,5. 在0,或0, l上的非周期函数的Fourier级数,首先补充函数在,0或 l,0上的定义，使其在整个 ,或 l, l上为奇或偶函数，再作周期延拓。可分 别展为正弦级数或余弦级数。,二. 题型小结,1. 求幂级数的收敛半径与收敛域,Example 1.,Solution.,收敛.,绝对收敛.,Example 2.,Solution.,发散.,发散.,Example 3.,Solution.,方法一,方法二,由比值法得，,Solution.,缺少偶次幂的项,级数绝对收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,2.求幂级数的和函数,方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).,Example 5.,Solution.,Example 6.,Solution.,Example 7.,Solution.,Solution.,收敛区间(-1,1),Example 9.,Solution.,3. 将函数展开成幂级数,Example 10.,Solution.,Example 11.,Solution.,Example 12.,Solution.,Example 13.,Solution.,4. 将函数展开成Fourier级数,Example14.,把f(x)展为Fourier级数.,Solution.,See Figure,所给函数满足收敛定理条件.,或记为：,Example15.,Solution.,将f(x)作周期延拓,See Figure,显然满足收敛定理条件.,所以，f(x)的Fourier级数及和函数如下：,Example16.,Solution.,(1) 将f(x)作奇延拓,再作周期延拓. See Figu