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文档简介
2.4 平面向量的数量积,2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义,问题提出,1.向量的模和夹角分别是什么概念?当两个向量的夹角分别为0,90,180时,这两个向量的位置关系如何?,2.任意两个向量都可以进行加、减运算,同时两个向量的和与差仍是一个向量,并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算,我们自然会提出,任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢?对此,我们从理论上进行相应分析.,平面向量数量积的 物理背景及其含义,探究(一):平面向量数量积的背景与含义,WFscos,思考2:功是一个标量,它由力和位移两个向量所确定,数学上,我们把“功”称为向量F与s “数量积”.一般地,对于非零向量a与b的数量积是指什么?,思考3:对于两个非零向量a与b,设其夹角为,把a|bcos叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即 ab=a|bcos.那么ab的运算结果是向量还是数量?,思考4:特别地,零向量与任一向量的数量积是多少?,0a=0,思考5:对于两个非零向量a与b,其数量积ab何时为正数?何时为负数?何时为零?,当090时,ab0; 当90180时,ab0; 当90时,ab0.,ab=a|bcos,思考6:对于两个非零向量a与b,设其夹角为,那么acos的几何意义如何?,思考7:对于两个非零向量a与b,设其夹角为,acos叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗?向量b在a方向上的投影是什么?,不一定;bcos.,思考8:根据投影的概念,数量积 ab=a|bcos的几何意义如何?,数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影bcos的乘积,或等于b的模与a在b方向上的投影acos的乘积,,探究(二):平面向量数量积的运算性质,思考1:设a与b都是非零向量,若ab,则ab等于多少?反之成立吗?,ab ab0,思考2:当a与b同向时,ab等于什么?当a与b反向时,ab等于什么?特别地,aa等于什么?,当a与b同向时,abab; 当a与b反向时,abab; aaa2a2或a .,思考3:ab与ab的大小关系如何?为什么?,abab,思考4:ab与ba是什么关系?为什么?,abba,思考5:对于实数,(a)b有意义吗?它可以转化为哪些运算?,(a)b(ab)a(b),思考6:对于向量a,b,c,(ab)c有意义吗?它与acbc相等吗?为什么?,思考7:对于非零向量a,b,c,(ab)c有意义吗?(ab)c与a(bc)相等吗?为什么?,(ab)ca(bc),思考8:对于非零向量a,b,c,若abac,那么 bc吗?,思考9:对于向量a,b,等式(ab)2 a22abb2和(ab)(ab)a2b2是否成立?为什么?,思考10:对于向量a,b,如何求它们的夹角?,理论迁移,例1 已知a5,b4,a与b的夹角为120,求ab.,10,例2 已知a6,b4,a与b的夹角为60,求(a2b)(a3b).,72,例3 已知a3,b4,且a与b不共线.求当k为何值时,向量akb与 akb互相垂直?,小结作业,1.向量的数量积是一种向量的乘法运算,它与向量的加法、减法、数乘运算一样,也有明显的物理背景和几何意义,同时还有一系列的运算性质,但与向量的线性运算不同的是,数量积的运算结果是数量而不是向量.,2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致,应用时不要似是而非.,3. 利用a 可以求向量的模,在字符运算中是一种常用方法.,4.利用向量的数量积可以
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