自动控制原理胡寿松第五版第二章.ppt

第二章 控制系统的数学模型,主要内容: 1.数学模型的概念,建模的原则 2.传递函数 3.系统的结构图和信号流图,2.1.1 什么是数学模型? 所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控制系统定量分析的基础。 2.1.2 数学模型的特点 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数 2.1.3 数学模型的类型 1)微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐 2)传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果 3)频率特性：频域 分析方法不同，各有所长,2-1 数学模型的概念,2.1.4 数学模型的建立方法 1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。 建模原则：选择合适的分析方法确定相应的数学模型简化,2.2.1 列写微分方程式的一般步骤 1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。 2) 忽略一些次要因素，合理简化。,2.2 系统微分方程的建立,3) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。 4) 列写中间变量的辅助方程。 方程数与变量数相等！ 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。 6) 将方程式化成标准形。 与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。,三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f 对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv 例2-1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。 试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为 输出量的运动方程式。,解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质 量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为 中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时， 系统处于平衡状态。,2.2.2 机械平移系统举例,（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即,（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中 间变量,得,（6）整理方程得标准形,（4）写中间变量与输出量的关系式,2.2.3 电路系统举例 例2-2 电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。,令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为,量纲s(课本上有推导,p28)，静态放大倍数1/K,解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。,（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:,（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得,（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。 （3）由KVL写原始方程：,i(t),（6）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为,2.2.4 线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：,式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束： （1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定； （2）左端的阶次比右端的高,n=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件； （3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。,相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。 上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。,例2-1,例2-2,令uc=q/C,模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。,直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia ，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD ，从而使电枢旋转，拖动负载运动。 Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与,2.2.5 电枢控制的直流电动机,激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。 下面推导其微分方程式。 （1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量； （2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系； （3）列写原始方程式 电枢回路方程：,电动机轴上机械运动方程：,J 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD 电枢电流产生的电磁转矩; ML 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke ke 电势系数，由电动机结构参数确定。 MD = km ia km 转矩系数，由电动机结构参数确定。 （5）消去中间变量，得,令机电时间常数Tm :,令电磁时间常数Ta :,1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：,2-22 一阶系统,2)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra 、La都可忽略,测速发电机,3) 随动系统中，取为输出,4) 在实际使用中，转速常用n（r/min）表示,设 ML=0,一.复习拉氏变换及其性质 1.定义 记 X(s) = Lx(t) 2.进行拉氏变换的条件 1)t 0，x(t)=0；当t 0，x(t)是分段连续； 2)当t充分大后满足不等式 x(t) Mect，M，c是常数。 3.性质和定理 1)线性性质 L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s),2-4 线性系统的传递函数,2)微分定理,若 ,则,若x1(0)= x2(0) = = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，,3)积分定律,X（-1）(0)是x(t)dt 在t=0的值。同理,5)初值定理 如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且,4)终值定理 若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：,存在，则,6)延迟定理 L x(t )1(t ) = esX(s) Leat x(t) = X(s + a) 7)时标变换,8)卷积定理,4.举例 例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。 解：,例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。 解：,例2-5 求正弦函数x(t) = sint 的拉氏变换。 解：,以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。,例2-6 求函数x(t)的拉氏变换。,+,解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 ),例2-7 求e at 的拉氏变换。 解:,例2-8 求e 0.2 t 的拉氏变换。解：,，求x(0)， x()。 解：,例2-9 若,二.复习拉氏反变换 1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t),2.求拉氏反变换的方法 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 查表法,部分分式法 一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即,通常m n，a1 , , an； b0 , , bm 均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有,式中p1 , , pn是 D(s) = 0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论： （1） D(s) = 0无重根。,式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。,（2） D(s) = 0有重根。设有r个重根p1 ，则,i = r+1, , n,3. 举例 例2-10,，求原函数x(t)。,解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1),的原函数x(t)。,例2-11 求,解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 j),的原函数x(t)。 解：,例2-12 求,用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时，需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1)对微分方程两边进行拉氏变换。 2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。 3)求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。,2.4.1. 线性常系数微分方程的求解,例2-13 求解微分方程：,解：两边取拉氏变换 s2Y(s) sy(0) y(0) + 3sY(s) 3y(0) +2Y(s)=5/s,y(t) = 5/2 5 et + 3/2 e2t,初始条件：y(0)= 1, y(0) =2,例2-14 图示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。,解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。由KVL写出电路方程,电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换,当输入为阶跃电压ur (t) = u0 1(t)时， 得,式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0) =0 时的响应，故称零状态响应；,第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur (t)=0时的响应，故称零输入响应。,用拉氏变换求解的优点： 1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程 2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确定积分常数 3）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用s 代替 , 得到。 当然，阶次高时，求拉氏反变换也不太容易，幸运的是，往往并不需要求出解，可用图解法预测系统的性能，可用相关性质得到解的特征，初值、终值等，满足工程需要。,2.4.2 传递函数的定义和实际意义,微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用L 法求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的模型。,1 定义 在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出拉氏变换与输入拉氏变换的比，称为传递函数，用G(S)表示。,即,例2-7中，若令uc(0) = 0，则有,于是,可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数（固有特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数。 传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：,Uc(s) = G(s) Ur(s),一般的，设线性定常系统的微分方程式为,式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。 在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得,(a0sn + a1sn1 + + an1s + an )C(s)= (b0sm + b1sm1 + + am1s + am )R(s) 按定义，其传递函数为,G(s)是由微分方程经线性拉氏变换得到，故等价，只是把时域变换到复频域而已，但它是一个函数，便于计算和采用方框图表示，广泛应用。 其分母多项式就是微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。但在工程实际当中： 1）都是零初始条件的，即系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t =0的值为零。 2）输入在t =0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t =0的值为零； 对于非0初始条件时，可采用叠加原理。,2.4.3 传递函数的性质 (a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。 (b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。 (c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。 (d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。 (e)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解） (f)传递函数一般为复变量s 的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n m。并且所有的系数均为实数。 (g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。 系统辨识,2 G(s)的微观结构,G(s)是关于s的有理分式，可分解成多种形式： 1）零极点表达式,可知：传递函数定，零、极点和kg唯一确定，反之亦然。因此传递函数可用零极点和传递系数等价表示。 零极点既可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称传递函数的零、极点分布图。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，可变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是根轨迹法(chaper4)。,2）时间常数表达式,较容易分解成一些典型环节，chapter5 应用,例如，试画出下面传递函数的零极点图。,2-6 典型环节及其传递函数,可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘积，一般认为典型环节有6种，这些典型环节,对应典型电路。这样划分对系统分析和研究带来很大的方便。 分述如下：,自动控制系统可以用传递函数来描述，任一复杂的传递函数G(s)，都可表示为：,1.比例环节 （杠杆，齿轮系，电位器，变压器等） 运动方程式 c(t) = K r(t) 传递函数 G(s) = K 单位阶跃响应 C(s) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K1(t) 可见，当输入量r(t)=1(t)时， 输出量c(t)成比例变化。,r(t),1,c(t),K,2.惯性环节 微分方程式：,式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点 p = 1/T，无零点。,传递函数：,1/T,单位阶跃响应:,3.积分环节 微分方程式：,传递函数：,阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。,0.632,0.865,0.95,0.982,1.0,T,2T,3T,4T,单位阶跃响应：,当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。 4.微分环节 微分方程式为：,1,1,T,c(t) = T(t) 由于阶跃信号在时刻t = 0有一跃变，其他时刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入的响应只在t = 0时刻产生一个响应脉冲。,理想的微分环节在物理系统中很少独 立存在，常见的为带有惯性环节的微分特性，传递函数为：,传递函数为： G(s)=Ts 单位阶跃响应：,1,T,式中，T 0，0 1，n = 1/T，T 称为振荡环节的时间常数， 为阻尼比，n为自然振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：,传递函数为：,或,5.二阶振荡环节 微分方程式为：,单位阶跃响应：,式中，=cos1。响应曲线 是按指数衰减振荡的，故称振 荡环节。,1,举例：RLC串连电路，平移系统，直流电机,6.延迟环节 微分方程式为： c(t) = r(t ) 传递函数为： 单位阶跃响应：,c(t) = 1(t ),1,1,无理函数的工程近似：,A,B,2.7.1 结构图的定义及基本组成 1.结构图的定义 定义: 由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。,2-7 系统的结构图 下图为讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。,转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图。 用G(s)代替相应的元件，好处：补充了方框中各变量之间的定量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影响；因此，它是对系统每个元件功能和信号流向的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。,2.结构图的基本组成 1）画图的4种基本元素 信号传递线 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，从方框出来的表示输出。,r(t), R(s),分支点 表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。,r(t), R(s),r(t), R(s),方框 表示对输入信号进行的数学运算。方框中的传递函数是单向的运算算子，使得输出与输入有确定的因果关系。,R(s),R(s) U(s),U(s),C(s) = G(s)R(s),相加点 对两个以上的信号进行代数运算，“ + ”号表示相加， “ ”号表示相减。外部信号作用于系统需通过相加点表示。,2）结构图的基本作用： (a) 简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。 (b) 对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。 (c) s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。 2.7.2 结构图的绘制步骤 (1) 列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应。 (2) 设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这,些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。 (3) 将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。 例2-16 画出下图所示RC网络的结构图。,解：(1) 列写各元件的原始方程式,i,(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式,(3)将这些方框依次连接起来得图。,2.7.3 结构图的基本连接形式 1.三种基本连接形式 (1) 串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。 故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。,由图可知： U(s)=G1(s)R(s) C(s)=G2(s)U(s) 消去变量U(s) 得 C(s)= G1(s)G2(s)R(s) = G(s)R(s),(2) 并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。,由图有 C1(s) = G1(s)R(s) C2(s) = G2(s)R(s),R(s),C(s),C(s) = C1(s) C2(s) 消去C1(s) 和C2(s)，得 C(s) = G1(s) G2(s)R(s) = G(s)R(s) 故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。,(3) 反馈连接 连接形式是两个方框反向 并接，如图所示。相加点处 做加法时为正反馈，做减法 时为负反馈。,由图有 C(s) = G(s)E(s) B(s) = H(s)C(s) E(s) = R(s) B(s) 消去B(s) 和E(s)，得 C(s) = G(s) R(s) H(s)C(s),上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。,定义： G(s)：前向通道传递函数 E(s) C(s) H(s)：反馈通道传递函数 C(s) B(s) H(s)=1 单位反馈系统 G(s)H(s) 开环传递函数 E(S) B(s),式中负反馈时取“+”号， 正反馈时取“-”号。,2.闭环系统的常用传递函数 考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。,（1）控制输入下的闭环传递函数 令N(s) = 0 有,（2）扰动输入下的闭环传递函数 令R(s) = 0有,（3）两个输入量同时作用于系统的响应,（4）控制输入下的误差传递函数,（5）扰动输入下的误差传递函数,（6）两个输入量同时作用于系统时的误差,3.闭环控制系统的几个特点,闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。 （1）外部扰动的抑制较好的抗干扰能力 （2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度 （3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关,2.7.4 结构图的等效变换 变换的原则：变换前后应保持信号等效。 1 . 分支点后移,R,1/G,R,2 . 分支点前移,C,G,C,4 .比较点前移,3 . 比较点后移,F,F,5 .比较点互换或合并,2.7.5 结构图的简化 对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。,例2-17 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。,解：方法1,方法2,例2-18 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。,解：,2.8.1 信号流图的基本概念 1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。 先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述： x2 = a12 x1 式中， x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。 信号传递关系 函数运算关系 变量因果关系,x1,a12,x2,2-8 信号流图及梅逊公式,下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。 设有一系统，它由下列方程组描述： x2 = a12 x1 + a32 x3 x3 = a23 x2 + a43 x4 x4 = a24 x2 + a34 x3 + a44 x4 x5 = a25 x2 + a45 x4 把内部变量结构和相互关系描述的 一清二楚,a43,a44,x1,a12,x2,x3,x4,x5,a23,a34,a45,a24,a25,a32,2.信号流图的基本元素 (1) 节点：用来表示变量，用符号“ O ”表示，并在近旁标出所代表的变量。 (2) 支路：连接两节点的定向线段，用符号“”表示。 支路具有两个特征： 有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。 有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。,3.信号流图的几个术语 节点及其类别 输入节点(源点) 只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。,混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。,输出节点(汇点) 只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。,1,x2,通道及其类别 通道 从某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。 开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12 a23 a34 。,闭通道(回环) 如果通道的终点就是起点的开通道。如a23 a32 ，a33 (自回环) 。,前向通道 从源节点到汇节点的开通道。 不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路。 4.信号流图的基本性质 1）信号流图只能代表线性代数方程组。 2）节点表示系统的变量，表示所有流向该节点的信号之（代数）和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。 3）信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。 4）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 5）对于给定的系统，信号流图不唯一。,2.8.2 信号流图的绘制方法 1.直接法 例2-19 RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图。,解：(1)列写原始方程,(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+),(3)整理成因果关系,(4)画出信号流图如图所示。,Ur(s),Uc(s),I(s),uc(0+),ic(0+),2.翻译法 例2-20 画出下图所示系统的信号流图。,解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。,R(s),E1(s),C(s),E2(s),G2(s),G1(s),-H(s),系统结构图 信号流图 变量 节点 输入变量 源节点 比较点 引出点 混合节点 传输线 方框 支路 输出端 汇节点,2.8.3 梅逊增益公式 1.梅逊增益公式 输入输出节点间总传输的一般式为,式中P 总传输 (增益)； n 从源节点至汇节点前向通道总数； Pk 第K条前向通路的传输； 信号流图的特征式； k 第k条前向通路特征式的余因子式,线性代数方程的克莱姆法则,为所有不同回环的增益之和；,为每两个互不接触回环增益乘积之和 ；,为每三个互不接触回环增益乘积之和；,为在中除去与第k条前向通路相接触的回路后的特征式， 称为第k条前向通路特征式的余因子。,解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道 =1 (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) bidjfk P1 = abcdefgh 1 = 1 0 = 1,例2-21 求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G。,例2-22 已知系统的信号 流图如下，求输入x1至输出 x2和x3的传输。,解：单回路： ac，abd，gi，ghj， aegh,两两互不接触回路： ac与gi，ghj; abd与gi，ghj 1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj) x1到x2的传输： P1 = 2ab 1 = 1 (gi + ghj) P2 = 3gfab 2 = 1,x1到x3的传输： P1 = 3 1 = 1 ( ac + abd ) P2