ch82小波与多分辨分析.ppt

数字信号处理 (Digital Signal Processing),信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地,信号时频分析,问题的提出 短时傅里叶变换 小波展开与小波变换 小波变换与多分辨分析 小波变换与滤波器组 基于小波的信号处理及应用,为了从数学概念和工程概念上更好地理解小波分析，将通过多分辨率的概念来阐述小波理论。,尺度函数(scaling function)f (t),多分辨分析(Multiresolution Analysis, MRA),小波函数(wavelet function)y (t),小波变换与多分辨分析,定义:多分辨分析(Multi-Resolution Analysis，MRA),1)存在一组嵌套的子空间，满足,2)尺度不变性 x(t)Vj x(2t)Vj+1,3)位移不变性 x(t)V0 x(t-k)V0,4)存在尺度函数(scaling function) f(t)，使得 f(t-k)；kZ 是V0的一个规范正交基。,由以上性质可得：fj,k(t)=2j/2f(2jt-k)；kZ是Vj规范正交基,尺度函数与多分辨分析,多分辨分析空间嵌套关系示意图,尺度函数与多分辨分析,例：Haar多分辨分析(分段常数函数构成的MRA),V0: 在区间上k,k+1), kZ分段常数函数构成的构成的空间 V1 : 在区间上k/2,(k+1)/2 ), kZ分段常数函数构成的构成的空间 V2 : 在区间上k/22,(k+1)/22 ), kZ分段常数函数构成的构成的空间 Vj : 在区间上k/2j,(k+1)/2j ), kZ分段常数函数构成的构成的空间,V0的一个规范正交基为fH(t-k)；kZ 为,称fH(t)为Haar尺度函数 。,fj,k(t)=2j/2f(2jt-k)；kZ是Vj规范正交基,尺度函数与多分辨分析,信号在嵌套子空间Vj中的正交投影：,对任意x(t) L2，由于f1,k(t)=21/2f(2t-k)；kZ是V1规范 正交基，所以x(t)在V1中的正交投影可表示为,一般地，x(t)在Vj中的正交投影可表示为,例：Haar多分辨分析,函数x(t)在子空间V0和V1在的正交投影,h0n: 尺度函数系数(scaling function coefficient)， 也称为尺度滤波器(scaling filter) 。,尺度函数f(t)的MRA方程,尺度函数与多分辨分析,f (t)V0,f (t)V1,由f1,k(t) kZ的正交性可得,scaling equation dilation equation refinement equation,例：试求Haar多分辨分析系统中的h0k。,解：,小波函数与正交补空间,由于V0V1 ，定义空间V0在V1中的正交补空间为W0，即 V1 = V0W0,对给定的多分辨分析系统，则存在小波 函数y(t)，使得y(t-k); kZ是W0的正交基。,一般地，空间Vj在Vj+1中的正交补空间为Wj，即 Vj+1 = VjWj yj,k(t)=2j/2 y(2jt-k)；kZ 是Wj的正交基。,例：试求Haar多分辨分析中的小波函数yH(t)。,解：由定义可知 V1 = W0 V0 所以yH(t)V1 ，即yH(t)在区间0,1/2，1/2,1必须是常数。又由于yH(t)必须与V0正交，所以yH(t)的一个解为,小波函数与正交补空间,小波函数y(t)的MRA方程,V1 = W0 V0,W0V1,y(t) W0 V1,y(t)可用V1空间的正交基f1,k(t); k Z表示为,h1k称为小波函数系数(wavelet function coefficient)。,由f1,k(t) kZ的正交性可得,例：试求Haar多分辨分析系统中的h1k。,解：,h0k与h1k的关系为,小波函数与正交补空间,离散小波变换,若x(t) V2，则有 V2 = W1 V1 =W1 W0 V0 所以f0,k(t)， y0,k(t)， y1,k(t); kZ构成了空间V2的一个正交基，x(t)可表示为,小波函数与正交补空间,离散小波变换,一般地