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文档简介
第60讲抛物线1设抛物线y28x上一点P到y轴的距离为4,则点P到该抛物线的焦点的距离是(B)A4 B6C8 D12 因为y28x的焦点F(2,0),准线x2,由P到y轴的距离为4知,P到准线的距离为6,由抛物线的定义知P到焦点F的距离为6.2(2013新课标卷)O为坐标原点,F为抛物线C:y24x的焦点,P为C上一点,若|PF|4,则POF的面积为(C)A2 B2C2 D4 设P(x0,y0),则|PF|x04,所以x03,所以y4x04324,所以|y0|2,因为F(,0),所以SPOF|OF|y0|22.3如果P1,P2,Pn是抛物线C:y24x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,xn,F是抛物线C的焦点,若x1x2xn10,则|P1F|P2F|PnF|(A)An10 Bn20C2n10 D2n20 由抛物线的定义可知|PiF|xixi1,所以|P1F|P2F|PnF|(x1x2xn)n10n.4(2016新课标卷)设F为抛物线C:y24x的焦点,曲线y(k0)与C交于点P,PFx轴,则k(D)A. B1C. D2 因为y24x,所以F(1,0)又因为曲线y(k0)与C交于点P,PFx轴,所以P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)得k2.故选D.5(2018广东七校联考)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|3,则|BF|. 设A,B的横坐标分别为xA,xB,由抛物线的定义可知|AF|xAxA13,所以xA2,又AB是抛物线的焦点弦,xA,xB满足xAxB1,所以xB,所以|BF|xB1.6(2016湖南省六校联考)若以双曲线1(b0)的左、右焦点F1,F2和点M(1,)为顶点的三角形为直角三角形,则y24bx的焦点坐标为(1,0). 显然点M(1,)为直角顶点,所以|OM|F1F2|c,所以b1.故抛物线为y24x,其焦点为(1,0)7已知斜率为1的直线l过抛物线y22px(p0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点(1)求直线l的方程(用p表示);(2)若设A(x1,y1),B(x2,y2),求证:|AB|x1x2p;(3)若|AB|4,求抛物线方程 (1)因为抛物线的焦点F的坐标为(,0),又因为直线l的斜率为1,所以直线l的方程为:yx.(2)证明:过点A,B分别作准线的垂线AA,BB,交准线于A,B,则由抛物线的定义得:|AB|AF|BF|AA|BB|x1x2x1x2p.(3)由|AB|4,得x1x2p4,直线yx与抛物线方程联立,x23px0,由韦达定理,得x1x23p,代入x1x2p4,解得p1,故抛物线方程为y22x.8(2017新课标卷)过抛物线C:y24x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MNl,则M到直线NF的距离为(C)A. B2C2 D3 抛物线y24x的焦点为F(1,0),准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y(x1)联立得方程组解得或因为点M在x轴的上方,所以M(3,2)因为MNl,所以N(1,2)所以|NF| 4,|MF|4,|MN| 4.所以MNF是边长为4的等边三角形所以点M到直线NF的距离为2.9已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A,B满足2,则弦AB的中点到抛物线准线的距离为. 设AB的中点为C,AB的延长线与准线相交于D,设A,B,C,F在准线上的投影分别为A,B,C,F,设FBt,则AF2t,由抛物线的定义,知AA2t,BBt,所以BB为DAA的中位线,所以BD3t,由DFFDCC,得,所以,解得CC.10(2016江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:xy20,抛物线C:y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证:线段PQ的中点坐标为(2p,p);求p的取值范围 (1)抛物线C:y22px(p0)的焦点为(,0),由点(,0)在直线l:xy20上,得020,即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0)因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1,则可设其方程为yxb.证明:由消去x得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1y2,从而(2p)24(2pb)0,化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p,从而y0p.因为M(x0,y0)在
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