2011年北京高考数学：解析几何(理,学生)下.doc

24 题型6：最值问题导数、不等式、二次函数 弦长、面积弦长公式1.（06，北京，理）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（）求的方程；（）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.（答案：（1）（2）当最小值2 ）2.（10，海淀一模，文）已知椭圆的对称中心为原点o，焦点在轴上，离心率为， 且点（1，）在该椭圆上. （i）求椭圆的方程； （ii）过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求圆心在原点o且与直线相切的圆的方程. （答案：(i)椭圆： (ii)圆：）3.（08，北京，文）已知的顶点在椭圆上，在直线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程 （答案：(i)， (ii) 平行线间的距离为三角形的高 所在直线的方程为4.（08，北京，理）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值 ( 答案：（1）（2）, 所以当时，菱形的面积取得最大值 ) 5.（10，东城二模，文）已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为a，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点 （i）求椭圆的方程； （）求线段的长度的最小值；（提示：利用平行线段成比例即可） （）在线段长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在，说明理由（答案：（）椭圆的方程为（）当时，线段的长度取最小值（）设直线则由，即由平行线间距离公式，得 ，得或（舍去） 可求得或6.(10，宣武期末，理)已知直线：与圆c：相交于两点（）求弦的中点的轨迹方程；（提示：点差法）（）若为坐标原点，表示的面积， ，求的最大值.（答案：（i）：，（ii）时，的最大值为 ）提示：=，由，得,时，最大值为7.（10，东城期末，文）已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是（）求椭圆的方程；（）设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点. 当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围 （答案：（）椭圆的方程为， （），当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点,故对称轴，即， 提示：联立圆的方程与椭圆的方程，使其判别式为0，即为相切） 8.（10，北京，文）已知椭圆c的左.右焦点坐标分别是，离心率是，直线椭圆c交与不同的两点m，n，以线段为直径作圆p,圆心为p，（）求椭圆c的方程；（）若圆p与x轴相切，求圆心p的坐标；（提示：点m（t,t）（）设q（x，y）是圆p上的动点，当变化时，求y的最大值答案：（）（）p（0，）（）圆p的方程，设，则当，即，且，取最大值2. 题型7：数列、向量综合1.（10，辽宁，理）设椭圆c：的左焦点为f，过点f的直线与椭圆c相交于a，b两点，直线的倾斜角为60o,.(i)求椭圆c的离心率； (ii)如果|ab|=，求椭圆c的方程. （答案：（i）（ii）椭圆c的方程为. ）2.(07，全国ii，理)直角坐标中，以为圆心的圆与直线相切（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围 ( 答案：（1）圆的方程为,(2)的取值范围为提示：设，由成等比数列，得，即 由于点在圆内，故由此得所以的取值范围为)3.（08，全国i，理）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率 ()（）设被双曲线所截得的线段长为4，求双曲线方程() 题型8：交点、等分点问题韦达定理1. （10，蒋叶光，编写）已知点和，直线与线段存在公共点，求的取值范围（提示：点在直线上，代数化：，解得）2.（10，海淀期末，文）已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，那么的值为 3.中点（10，宣武期末，文）椭圆e：的焦点坐标为（），点m（，）在椭圆e上（）求椭圆e的方程；（）设q（1，0），过q点引直线与椭圆e交于两点，求线段中点的轨迹方程；（）o为坐标原点，的任意一条切线与椭圆e有两个交点，且，求的半径（提醒：纷繁计算量） （答案：（）（） （） 4.中点（06，北京，文）椭圆的两个焦点为f1，f2，点p在椭圆c上，且,（）求椭圆c的方程；（）若直线l过圆的圆心m，交椭圆c于a，b两点，且a，b关于点m对称，求直线的方程. (答案：（）（） )5.中点（10，西城一模，理）椭圆短轴的左右两端点为，直线与轴.轴交于两点交椭圆于两点 （i）若，求直线的方程； （ii）设直线的斜率分别为，若，求的值，（提示：分类讨论）（答案：（i）直线l的方程为(ii)提示：平方得6.三等分点（10，北京一模,文）已知，两点，曲线上的动点满足.（）求曲线的方程；（）若直线经过点，交曲线于，两点，且，求直线的方程. （答案：（） （） 题型9：动点问题1.（10，海淀期末，文）已知椭圆c：的焦点为，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“点”.那么下列结论正确的是 ( ) a椭圆上的所有点都是“点” b椭圆上仅有有限个点是“点” c椭圆上的所有点都不是“点” d椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”2.（10，海淀，上期末）点在曲线：上，若存在过的直线交曲线于点，交直线：于点，满足或，则称点为“h点”，那么下列结论正确的是 （ ) a曲线.上的所有点都是“h点” b曲线上仅有有限个点是“h点” c曲线上的所有点都不是“h点” d曲线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“h点”3.（10，西城一模理，理）如图，在等腰梯形中，且，设，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，则（ ）a随着角度的增大，增大，为定值b随着角度的增大，减小，为定值c随着角度的增大，增大，也增大d随着角度的增大，减小，也减小 提示：双曲线减小，椭圆增大abcd4.（2011，海淀期中，理）在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：其中所有真命题的序号是（ ） 存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； 存在正实数，使的面积为的直线仅有两条； 存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； 存在正实数，使的面积为的直线仅有四条.a b c d 参考答案 1.b 2.d 3.b 4.d 知识归纳：双曲线 1.定 义：平面内动点p与两定点f1，f2距离差等于定长2 当为双曲线， 当为以为端点的两条射线 当不含绝对值，轨迹为一条射线或双曲线的一支 2.标准方程： 谁正谁为（1） 定义域： 值域：（2） 焦点：， （）（3）实轴长: 半实轴长：（4）虚轴长： 半虚轴长：（5）焦距： 半焦距：（6）离心率：（7）渐近线：退化双曲线，令，即 （8）准线：（9）焦渐距：焦点到渐进线的距离为（10）焦准距：双曲线的焦点与其相应准线的距离（11）通 径：（过的焦点且垂直于对称轴的弦） （12）焦半径：， （13）等轴双曲线：， 且两渐近线相互垂直 （14）共轭双曲线：实轴和虚轴交换 （15）共渐近线双曲线： 特点:1.渐近线相同；2.焦距相等；3.两离心率平方倒数和为1 3. 焦点三角形（1）（2）（3）（4）（5） （6）双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线：渐近线： 若渐近线：双曲线可设： 若双曲线与有公共渐近线可设为 （7）点差法：（椭圆/双曲线/圆）上a,b两点,弦ab的中点为，弦ab的斜率，则典型例题 例 1.（10，蒋叶光，编写）已知以为左右焦点的双曲线右支上点，其中的内切圆与轴切于点，则的值为 例 2.（10，蒋叶光，编写）已知双曲线右支上点到的距离为，求的值 解法一：.又因为点在曲线上， 所以，即，这是错的！ 解法二：双曲线右支上点，故， 又因为，即例3.（10，蒋叶光，编写）若点在双曲线上，若, 则 解法一：，1或17，这是错的！ 解法二：只能在右支，故17例4.若点双曲线在上，若,则 例5.若点在椭圆上，则 参考答案 1.8 2. 3.17 4.3或19 5.3题型1.离心率.焦点弦.焦点三角形精题训练（北京卷）1.（10，海淀二模，文）双曲线的焦距为( ) a.10 b. c. d. 52.(03,北京,理)以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 3.(10，北京，理)双曲线离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 4.（10，海淀期末，文）双曲线的渐近线方程是（ ）a b. c. d. 5.（10，海淀期末，理）双曲线，则焦点到渐近线的距离为（ ）a1 b c3 d4 6.（10，宣武期末，文） 若双曲线的离心率为，则 ；设为虚数单位，复数的运算结果为 .7.（10，东城二模，文）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于（ ） a. b. c. d. 8.(10，西城一模，理)已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 9.（10，东城期末，理） 直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 10.（10，东城期末，文）若双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是 11.（10，东城二模.理）抛物线与双曲线有相同的焦点，点 是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线一渐近线，则倾斜角所在的区间可能是（ ） a. b. c. d. 参考答案1. a 3.4. a 5.b 6.4,-4 7.a 8.-2 9.10. 11.d 知识归纳：抛物线 1. 定义：到定点f的距离与到定直线l的距离之比是常数 2. 标准形式 （1）焦点： （2）准线： （3）通径： （4）焦半径： （5）焦准距：焦点到准线的距离= 3. 抛物线重要结论 设,中点为 （1）以ab为直径的圆与准线相切 （2） （7） （8）弦长公式： （9）切线方程 抛物线上一点处的切线方程是.题型1.离心率、斜率、焦点弦精题训练（北京卷）1.（05,北京,文）抛物线 的准线方程是 ，焦点坐标是 2.（10，海淀期末，文）抛物线的准线方程是 3.（10，西城二模，文）在抛物线上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则 4.（10，宣武期末，文）设斜率为的直线过抛物线焦点，且和轴交于点a，若（为坐标原点）面积为4，则的值为 ( ) a b c d 5.（10.东城一模文）已知圆与抛物线的准线相切，则的值等于（ ）a b cd6.（10，东城期末，文） 已知点在直线上，点在抛物线上，则的最小值等于 参考答案1.，（-1，0） 2. 3.2 4.b 5.d 6.题型2.定值、定点 1.(04.，北京，理)如图，过抛物线上一定点p（）（），作两条直线分别交抛物线于a（），b（） （i）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点f的距离 （ii）当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并 证明： 直线ab的斜率是非零常数 (答案：（1）距离为（2），) 2.（10，西城，期末）已知抛物线，直线与交于两点，为坐标原点， （）当，且直线过抛物线的焦点时，求的值； （）当直线的倾斜角之和为时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点.（答案（1）（2），直线过定点） 3.（10，东城二模，理）已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上一点到准线的距离是，过点的直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为 （）求抛物线的标准方程；（）求的值；（）求证：是和的等比中项（答案：（i） （ii） 4.（10，西城，期末）已知抛物线，直线与交于两点，为坐标原点， （）当，且直线过抛物线的焦点时，求的值； （）当直线的倾斜角之和为时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点. （答案（1）（2），直线过定点）题型3.中点、交点、等分点1. （10,西城一模，理）已知抛物线，点是其准线与轴的焦点，过的直线与抛物线交于两点， （1）当线段的中点在直线上时，求直线的方程； （2）设为抛物线的焦点，当为线段中点时，求的面积，答案：（1）直线的方程为 （2）2.（09，全国i，理） 如图，已知抛物线与圆相交于、四个点。 （i）求得取值范围； （ii）当四边形面积最大时，求对角线、的交点坐标答案：（i）（ii）当且仅当时，s取最大值，由三点共线，则得。题型4.对称点、倾角互补、斜率互为相反数1.（10，海淀，上期末）已知抛物线经过点a(2,1)，过a作倾斜角互补的两条不同直线.（）求抛物线的方程及准线方程；（）当与抛物线相切时，求与抛物线所围成封闭区域的面积；（）设直线分别交抛物线于b，c两点（均不与a重合），若以线段bc为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线bc的方程.（答案（1），准线为（2）（3）2.（10，崇文一模，理）已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点（）证明：直线的斜率互为相反数；（）求面积的最小值；（）当点的坐标为，且根据（）（）推测并回答下列问题（不必说明理由）： 直线的斜率是否互为相反数？ 面积的最小值是多少？（答案：（i）（ii）面积的最小值（iii）；面积的最小值为）题型5.动点问题（北京卷）1.（10，海淀一模，文） 已知动点p到定点（2，0）的距离和它到定直线的距离相等，则点p的轨迹方程为 .2.（08，北京，理）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ） a圆b椭圆c双曲线d抛物线3.（09，北京，理）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ） a直线上的所有点都是“点” b直线上仅有有限个点是“点” c直线上的所有点都不是“点” d直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”4.（10，海淀二模，文）已知直线：，定点(0，1