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J o u r n a lo fZ h e j i a n gU n i v e m 时S C I E N C EA I S S N1 6 7 3 - 5 6 5 X ( P r i n t ) ；I S S N1 8 6 2 - 1 7 7 5 ( O n l i n e ) w w w z j u e d uc n I z u s ；w w w s p r i n g e r l i n k c o r n E - m a i l ：j z u s z j u e d u c n L e n ge ta 1 JZ h e j i a n gU n i vS c i A2 0 0 89 1 3 ) ：3 5 8 - 3 6 5 R e s e a r c ho nc u b i cp o l y n o m i a la c c e l e r a t i o na n dd e c e l e r a t i o n c o n t r o lm o d e lf o rh i g hs p e e dN C m a c h i n i n g H o n g b i nL E N G t , Y i - j i eW U 竹，X i a o h o n gP A N ( I n s t i t u t eo f M o d e r nM a n u f a c t u r eE n g i n e e r i n g , Z h e f i a n gU n i v e r s 魄H a n g z h o u3 1 0 0 2 LC h i n a ) E - m a i l ：l e n g h b 2 0 0 2 z j u e d u c n ；w 埘1 116 z j u e d u c n R e c e i v e dJ u l y2 ，2 0 0 7 ；r e v i s i o na c c e p t e dN o v 3 ，2 0 0 7 ；p u b l i s h e do n l m eD e c 3 0 ，2 0 0 7 A b s t r a c t ：T os a t i s f yt h en e e do fh i g hs p e e dN C ( n u m e r i c a lc o n t r 0 1 ) m a c h i n i n g ，a na c c e l e r a t i o na n dd e c e l e r a t i o n ( a c e d e c ) c o n t r o lm o d e li sp r o p o s e d 。a n dt h es p e e dc u r v ei sa l s oc o n s t r u c t e db yt h ec u b i cp o l y n o m i a l T h ep r o p o s e dc o n 仃o lm o d e lp r o v i d e s c o n t i n u i t yo f a c c e l e r a t i o n w h i c ha v o i d st h ei n t e n s ev i b r a t i o ni nh i g hs p e e dN Cm a c h i n i n g B a s e do nt h ed i s c r e t ec h a r a c t e r i s t i co f t h ed a t as a m p l i n gi n t e r p o l a t i o n t h ea c e d e cc o n t r o ld i s c r e t em a t h e m a t i c a lm o d e li sa l s os e tu pa n dt h ed i s c r e t ee x p r e s s i o no ft h e t h e o r e t i c a ld e c e l e r a t i o nl e n g t hi so b t a i n e df u r t h e r m o r e A i m i n ga tt h eq u e s t i o no fh a r d l yp r e d e t e r m i n i n gt h ed e c e l e r a t i o np o i n ti n a c c d e cc o n t r o lb e f o r ei n t e r p o l a t i o n t h ea d a p t i v ea c e d e cc o n t r o la l g o r i t h mi sd e d u c e df r o mt h ee x p r e s s i o n so ft h et h e o r e t i c a l d e c e l e r a t i o nl e n g t h T h ee x p e r i m e n t a lr e s u l tp r o v e st h a tt h ea c e d e cc o n t r 0 1m o d e lh a st h ec h a r a c t e r i s t i co fe a s yi m p l e m e n t a t i o n , s t a b l em o v e m e n ta n dl o wi m p a c t T h em o d e lh a sb e e na p p l i e di nm u l t i a x e sh i g hs p e e dm i c r of a b r i c a t i o nm a c h i n i n gS U C C E S S f U l l y K e yw o r d s ：H i 曲s p e e dN Cm a c h i n i n g ，A c c e l e r a t i o na n dd e c e l e r a t i o n ( a c e d e c ) c o n t r o lm o d e l ，C u b i cs p e e dc u r v e ，D i s c r e t e m a t h e m a t i c a lm o d e l ，A d a p t i v ea c c e l e r a t i o na n dd e c e l e r a t i o nc o n t r o la l g o r i t h m d n i ：1 0 1 6 3 1 j z u s A 0 7 1 3 5 1 D o c u m e n tc o d e ：AC L Cn u m b e r ：U 4 4 1 + 4 I N T R O D U C T I O N N C ( n u m e r i c a lc o n t r 0 1 ) m a c h i n i n gi sn o wd e v e l o p i n gt o w a r d sh i g hs p e e da n dh i g he f f i c i e n c y I n h i g hs p e e dm a c h i n i n g 。e a c hm o t i o na x i sm u s ta c c e l e r a t ei n t om o v i n gs t a t ea n dr e a l i z ep r e c i s es t o pi nf e w s e c o n d s S o ，r e s e a r c h i n go na ne f f i c i e n ta c c e l e r a t i o n a n dd e c e l e r a t i o n ( a c e d e c ) c o n t r o lm e t h o dt om e e tt h e d e m a n do fh i g hs p e e dm a c h i n i n gi so n eo ft h ec r i t i c a l p r o b l e m si nm o d e mh i g hp e r f o r m a n c eN Cs y s t e m T h ec o m m o n l yu s e dm e t h o d si nm o s td o m e s t i c e c o n o m i c a lC N C ( c o m p u t e rn u m e r i c a lc o n t r 0 1 ) s y s - t e r na r el i n e a ra c c d e cm o d ea n de x p o n e n t i a la c e d e c m o d e B u tv i b r a t i o ni se a s i l yc a u s e db yd i s c o n t i n u i t y o fa c c e l e r a t i o n ，w h i c ha f f e c t sm a c h i n i n gq u a l i t ya n d e q u i p m e n tl i f e ( H ue ta L ，19 9 9 ；Z h a n g ，2 0 0 2 ) T o l C o r r e s p o n d i n ga u t h o r P r o j e c ts u p p o r t e db yt h eH i 1 e c hR e s e a r c ha n dD e v e l o p m e n tP r o - g r a m ( 8 6 3 ) o fC h i n a ( N o 2 0 0 6 A A 0 4 2 2 3 3 ) ，t h eN a t i o n a lN a t u r a l S c i e n c eF o u n d a t i o no f C h i n a ( N o 5 0 5 7 5 2 0 5 ) a n dt h eN a t u r a IS c i e n c e F o u n d a t i o n o fZ h e j i a n gP r o v m c e o s Y 1 0 4 2 4 3a n dY 1 0 5 6 8 6 ) ， C h i n a d e c r e a s et h ev i b r a t i o n ，t h es - c u r v ea c e d e cm o t i o n p l a n n i n gm e t h o di sa d o p t e di na d v a n c e dC N Cs y s t e m T h ea c c e l e r a t i o n ( o rd e c e l e r a t i o n ) s t a g ei nt h es - c u r v e a c c d e cm o t i o np l a n n i n gm e t h o di sc o m p o s e do fi n c r e a s i n ga c c e l e r a t i o np h a s e ，c o n s t a n ta c c e l e r a t i o n p h a s ea n dd e c r e a s i n ga c c e l e r a t i o np h a s e ( o ri n c r e a s i n gd e c e l e r a t i o np h a s e ，c o n s t a n td e c e l e r a t i o np h a s e a n dd e c r e a s i n gd e c e l e r a t i o np h a s e ) T h r o u g hg r a d e d c o n t r o lo fa c c e l e r a t i o ni ne a c hs t a g e m a c h i n i n g f e e d r a t ec a nb ec h a n g e ds m o o t h l y H o w e v e Lt h ea 1 g o r i t h m i st o oc o m p l e x ( K a a na n dY u s u f , 2 0 0l ：N a m a n dY a n g 2 0 0 4 ) T h et r i g o n o m e t r i cf u n c t i o na c e d e c m e t h o di sm o r ef l e x i b l e ，b u tt h ea l g o r i t h mi sa l s o c o m p u t a t i o ne x t e n s i v ea n dm o r ec o m p l e x ，w h i c hi s r e l a t i v e l yd i 币c u l tt os a t i s f yr e a l t i m er e q u i r e m e n t ( G u na n dL i ，2 0 0 3 ) T h em e t h o ds e l e c t i n gp o l y n o m i a l f u n c t i o n sc a ng e n e r a t es om a n yk i n d so fa c e d e c c h a r a c t e r i s t i c sa n d ，f u r t h e r m o r e ，c a nm a k et h ec h a r - a c t e r i s t i c so fd e c e l e r a t i o nb ei n d e p e n d e n tf r o mt h o s e o fa c c e l e r a t i o n I no r d e rt oa c h i e v eh i g h p e r f o r m a n c e m o t i o nc o n t r o l ，t h em o t i o np r o f i l e sm u s tb em a t c h e d 堡 万方数据 L e n ge ta 1 J Z h e j i a n gU n i vS c i A2 0 0 8 9 3 ) ：3 5 8 - 3 6 5 t ot h es y s t e ml i m i t ss u c ha st h em a x i m u ma c c e l e r a - t i o na n dt h em a x i m u mv e l o c i t y I fp o s i t i o nt r a j e c t o - r i e so fw h i c ht h ev e l o c i t yp r o f i l e sa r es m o o t ha r e g e n e r a t e db yt h em e t h o ds e l e c t i n gp o l y n o m i a lf u n c - t i o n s i tr e q u i r e sal o to fc o m p u t a t i o n s ( I n a b aa n d S a k a k i b a r a 19 8 5 ；P a r k 19 9 6 ) T h ed i g i t a lc o n v o l u t i o nm e t h o di sm u c hm o r ee m c i e n lt h a nt h em e t h o d s e l e c t i n gp o l y n o m i a lf u n c t i o n sa n di se a s i l yi m p l e m e n t e db yh a r d w a r e B u t ，i nt h ev e l o c i t yp r o f i l e s g e n e r a t e db yt h em e t h o d t h ea c c e l e r a t i o ni n t e r v a li s a l w a y st h es a m ea st h ed e c e l e r a t i o ni n t e r v a la n dt h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h ed e c e l e r a t i o na r ed e p e n d e n to n t h o s eo f t h ea c c e l e r a t i o n ( K h a l s aa n dM a h o n e y , 1 9 9 0 ； C h e na n dL e e 19 9 8 ) As i m p l et o e f f i c i e n t ss t o r e d m e t h o df o rg e n e r a t i n gv e l o c i t yp r o f i l e si sp r o p o s e d A c c o r d i n gt ot h ed e s i r e dc h a r a c t e r i s t i c so fa c c d e c ， e a c hs e to f c o e f f i c i e n t si sc a l c u l a t e da n ds t o r e d G i v e n am o v i n gd i s t a n c ea n da c e d e ci n t e r v a l s ，av e l o c i t y p r o f i l eh a v i n gt h ed e s i r e dc h a r a c t e r i s t i c so fa c c d e c c a nb ee 币c i e n t l yg e n e r a t e db yu s i n gt h e s et o e m c i e n t s B u tf o rl o n ga n ds h o r td i s t a n c e s t h es a m e a c e d e ci n t e r v a l sa r es e l e c t e d ；t h ee 币c i e n tv e l o c i t y p r o f i l ec a n n o tb e c a l c u l a t e df o rt h ev a r i e dd i s t a n c e m o v e m e n t s ( J e o na n dH a ，2 0 0 0 ) T h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s S e c t i o n2 p r o p o s e sac u b i cp o l y n o m i a la c e d e cc o n t r o lm o d e l f o rh i g hs p e e dN Cm a c h i n i n g B a s e do nt h ed i s c r e t e c h a r a c t e r i s t i co ft h ed a t as a m p l i n gi n t e r p o l a t i o n ，t h e c u b i cp o l y n o m i a la c c d e cc o n t r o ld i s c r e t em a t h e - m a t i c a lm o d e li ss e tu pi nS e c t i o n3 T h ea d a p t i v e a c e d e cc o n t r o la l g o r i t h mf o rp r e d e t e r m i n i n gt h e d e c e l e r a t i o np o i n to fa r b i t r a r yr o u t es e g m e n ti sd e d u c e di nS e c t i o n4 E x p e r i m e n t a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e d i nS e c t i o n5 a n dc o n c l u s i o n sa r es u m m a r i z e di n S e c t i o n6 s t r u t t e db yt h ec u b i cp o l y n o m i a l ， 3 5 9 y ( 甜) = ( q + 2 a 2 u + 3 a 3 u 2 + 4 a 4 u 3 ) f m ( 1 ) I ti sa s s u m e dt h a tt mi st h ea c c e l e r a t i n go rd e c e l e r a t i n g d u r a t i o nt i m e w h i c hi st a k e na ss y n c h r o n i z e dm o t i o n a x e st oa c c e l e r a t eo rd e c e l e r a t ef r o mt h eb e g i n n i n g s p e e dt ot h ee n ds p e e d ，妒t t m ，f O ，t m T h eo t h e rk i n e t i cc h a r a c t e r i s t i cc u r v e so fa c c e l - e r a t i o na n di e r kc a nb eo b t a i n e db yd i f f e r e n t i a t i n gt h e f e e d r a t ec u r v e ， A ( u ) 撕= ( 2 a 2 + 6 a s U + 12 a 4 6 a s2 4 a 4 u ) t ：铲。 ( 2 ) 【，( “) = ( + A g a i n ，i n t e g r a t i n gE q ( 1 ) w i t hr e s p e c tt ot i m ey i e l d s t h ed i s p l a c e m e n tc u r v ef u n c t i o na s ， S ( z f ) = a 0 + a I + a 2 u 2 + a 3 u 3 + a 4 u 4 ( 3 ) T h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r e ， s ( 0 ) = 0 ，v ( o ) = K ，矿( 1 ) = 圪，A ( O ) = A ( 1 ) = 0 ， w h e r eKa n d 圪s t a n df o rt h eb e g i n n i n gs p e e di na c e s t a g e ( o rd e cs t a g e ) a n dt h ee n ds p e e d T h e nt h ec u r v i l i n e a rf u n c t i o n sa r ed e r i v e da s ， ，( “) = 6 ( 圪一K ) ( 1 2 - ) 4 ， 彳(u)=：6K(V+,3-(KV,)一(uK-)甜u：2)+t2m(,V(uK 一圪) 材， ( 4 ) ) = K + 3 ( K K 咖2 + 2 ( K 一圪弦， s ( “) = t m K U + ( 圪一V 。) t m U 3 + 0 5 ( K - - V o ) t m U 4 C U B I CP O L Y N O M I A LA C C D E CC O N T R O L e q u a l F t o r o m t h e E 孟q & i m u m u a c = 0 c e 5 l e r a t h t e i o a n c 彳c e m l 瓤e r a T t i h o e n nf m ：a i n s ( 4 ) ，l e t，彳( “) M O D E L b ed e d u c e da s ， T om e e tt h en e e do fh i g hs p e e dm a c h i n i n g ，t h e f e e d r a t em u s tb ec h a n g e ds m o o t h l ya n dt h ea c c e l e r a t i o nm u s tb ec o n t i n u o u s T h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r e ： ( 1 ) t h ed i s p l a c e m e n ta tt h eb e g i n n i n gt i m ei s0 ；( 2 ) b o t ht h eb e g i n n i n gs p e e da n dt h ee n ds p e e da r et h e s a m ea sr e q u i r e d ；( 3 ) t h ea c c e l e r a t i o n sb o t ha tt h e b e g i n n i n gt i m ea n dt h ee n dt i m ea r e0 T h ea c c d e cf e e d r a t ec u r v e 如n c t i o ni sc o n t m = 3K KI “2 4 。) = n T ( 5 ) 玎i sar e a ln u m b e r , d e n o t i n gt h et h e o r e t i c a lt i m e so f t h et h e o r e t i c a lr u n n i n gt i m et mt oi n t e r p o l a t i o np e r i o d Tw h e nd e c e l e r a t i n g ( o ra c c e l e r a t i n g ) f r o mKt o W h e nt = t m ，t h et h e o r e t i c a la c c e l e r a t i o n ( o rd e - c e l e r a t i o n ) l e n g t hS li so b t a i n e df r o mE q ( 4 ) a s ， 万方数据 L e n ge ta 1 JZ h e j i a n gU n i vS c i A2 0 0 89 3 ) ：3 5 8 - 3 6 5 墨= ( 圪+ V 。) t m 2 = 3 lK 2 一曙I I ( 4 A 。) T h er e l a t i o no fs p e e d ( 叻，a c c e l e r a t i o n0 ) a n d j e r k i se x p r e s s e da ss h o w ni nF i g 1 F r o mF i g 1 ，i n t h ec u b i cp o l y n o m i a la c e d e cc o n t r o lm o d e l t h ea c c e l e r a t i o ni Sc o n s e c u t i v e 。w h i c ha v o i d st h eO c c u r - r e n c eo fi n t e n s ev i b r a t i o ni nh i g hs p e e dm a c h i n i n g T h ec a l c u l a t i o n so fj e r k ，a c c e l e r a t i o n ，s p e e da n dd i s p l a c e m e n ti nv a r y i n gs p e e dp r o c e s sa r es i m p l ea n d e a s yt or e a l i z e b e c a u s eo ff e Wf o u rf u n d a m e n t a lo p e r a t i o n s 矿匕二上二金 一p # 毒三 7 l 一 一 F i g 1S p e e d ( “ ，a c c e l e r a t i o n 似) a n dj e r k ( J ) o f t h ec u b i c p o l y n o m i a la c c d e cc o n t r o lm o d e l C U B I CP O L Y N O M I A LA C C D E CC O N T R O L D I S C R E T EM O D E L C h a r a c t e r i s t i c so f d a t as a m p l i n gi n t e r p o l a t i o n T h ec o n t r o l l i n gw i t hd a t as a m p l i n gi n t e r p o l a t i o n i sat y p eo fd i s c r e t ec o n t r o l l i n gm o d e T h ed a t as a m p i i n gi n t e r p o l a t i o ni sb a s e do na p p r o x i m a t i n gac u r v e w i t hs t r a i g h t l i n es e g m e n t s ，w h o s el e n g t h sa r ep r o - p o r t i o n a lt ot h el o c a la x i a lp l a n n e dv e l o c i t i e s T h e a c e d e cc o n 仃O la l g o r i t h mi Sp e r f o r m e do nt h ed e s i r e d f e e d r a t ec o m m a n d 矿f i r s t l y T h e nt h ef e e d r a t ec o r n m a n dV ( a f t e ra c e d e cc o n t r o la l g o r i t h m ) i ss e n tt ot h e i n t e r p o l a t o rt oc o m p u t et h et r a v e l i n gd i s t a n e ec o m p o n e n tf o re a c ha x i si nt h eC a r t e s i a nc o o r d i n a t e s ( K Ya n d 刁T h et r a v e l i n gd i s t a n c ec o m p o n e n t s Z 厶Ya n d 觇a l o n gt h eX Ya n dZa x e sa r et r a n s m i t t e dt o t h em o t i o nc o n t r o lr o u t i n e 邪p o s i t i o nc o m m a n d st o t h ep o s i t i o nc o n t r o ll o o pf o rt h ed e s i r e dm a c h i n i n g f i n a l l y W h e nd a t as a m p l i n gi n t e r p o l a t i o ni su s e di np o - s i t i o nc o n t r 0 1 i ti St h ec o n d i t i o nt Om a k es u r et h a t e v e r ys y n c h r o n i z e dm o t i o na x i sr e a c h e st h ed e s t i n a - t i o ns i m u l t a n e o u s l ya n dt h e i rm o v e m e n ti Sc o n t i n u o u s S Ot h a te a c ha x i sr u n n i n gt i m eti sj u s ti n t e g r a lt i m e s t h a to f t h ei n t e r p o l a t i o np e r i o d 互i e t i m ep a r t i t i o n i n g r u l e T h i sc o n d i t i o nc a nb er e a l i z e db ya d j u s t i n gt h e c o m m a n df e e d r a t eo fe a c hs y n c h r o n i z e dm o t i o na x i s ( i e a c c e l e r a t i n go rd e c e l e r a t i n g ) ( G u oe ta 1 ，2 0 0 3 ) T h r o u g ht h ea b o v ea n a l y s e s ns h o u l db ea ni n t e g e r S e tNa st h em i n i m u mi n t e g e rn o ts m a l l e rt h a n 玎 N = c e i l ( n ) N n R e p l a c i n gt h er e a ln u m b e r ，1w i t ht h ei n t e g e rN i n E q ( 5 ) y i e l d s ， = 3 I K KI ( 2 4 。) = N T ( 6 ) C o n s t r u c t i o no fd i s c r e t em o d e l G i v e na n yc u r v eg i v e nb yt h ef u n c t i o ny = f l t ) ，t h e i n t e r v a l 【t o ，纠i sd i v i d e di n t oNd i v i s i o n s P i c k i n gt h e l e f te n d p o i n t st od e t e r m i n et h eh e i g h t si ss h o w ni n F i g 2 a ；t h ea p p r o x i m a t ea r e au n d e r 少钡Do nt h ei n t e r v a l t o ，明i s ， r 儿灿嘻小娟棚孚) 孚 Ot o t lt 2r 卜l ，l 肛lt M t Ot o t l t 2 缸lnt # - l t u t F i g 2I m p l e m e n tc u r v eo f J f t ) ( a ) L e f te n d p o i n t su s e df o r t h eh e i g h t so fr e c t a n g l e s ；( b ) R i g h te n d p o i n t su s e df o r t h eh e i g h t so fr e c t a n g l e s 万方数据 L e n ge ta 1 JZ h e j i a n gU n i vS c i A2 0 0 89 f 3 J ：3 5 8 - 3 6 5 T h i sw a yo fa p p r o x i m a t i n gt h ea r e au n d e rt h e c u r v ei sc a l l e dt h el e f ts u mm e t h o d C h o o s i n gt h ef i g h te n d p o i n t st od e t e r m i n et h e h e i g h t si ss h o w ni nF i g 2 b ；t h ea p p r o x i m a t ea r e a u n d e r 尸砜f ) o nt h ei n t e r v a l t o ，明i s ， I j 删，喜小+ z 可t N - - t o 警 T h i sw a yo fa p p r o x i m a t i n gt h ea r e au n d e rt h e c u r v ei sc a l l e dt h er i g h ts u mm e t h o d S u p p o s et h a tt h es l o p eo fi e r ki SK sa n di n i t i a l v a l u e so fj e r k , a c c e l e r a t i o n ，s p e e da n dd i s p l a c e m e n t a r eJ o ，A o ，g oa n dS o ，r e s p e c t i v e l y T h ed i s c r e t em o d e l o f j e r kc u r v e ，i m p l e m e n t e db yI e f ts u mm e t h o d ，i S 。 J ( i T ) = 厶+ 0 ( f 一1 ) T ，1 i N ( 7 ) T h ed i s c r e t em o d e l so fa c c e l e r a t i o n ，s p e e da n d d i s p l a c e m e n tc u r v e ，r e a l i z e db yr i g h ts u mm e t h o d ， a r e ， i A ( i T ) = 4 0 + ，( 7 ) r ，I i N + I ， = 1 I 矿( f 丁) = V o + A ( j T ) T ， j = l ， s ( f r ) = s o + V ( j T ) T ， j = l 1 i N 1 f 3 6 1 州耻器一嘉N ( N 斋： 、 ( + 1 ) ( + 2 ) r 2+ 1 ) ( + 2 ) r 2 l f N T h ed i s c r e t em o d e l so fa c c e l e r a t i o n ，s p e e da n d d i s p l a c e m e n tc u r v e ，i m p l e m e n t e db yr i g h t s u m m e t h o d ，a r e ， 彳( f r ) ：坠竺二竺! f 一 篁兰二竺2 f ：， 、 N ( N + 2 ) TN ( N + 1 ) ( + 2 ) 丁7 1 i N + 1 ； y c z r ，= K + ；孑糕z + i 揣r 2 一j 噪f 3 ，l i N ； N ( N + 1 ) ( + 2 ) S(fn：(N3+3N2-1)V+(2N+1)Ve乃 、7 N ( N + 1 ) ( + 2 ) + ! 竺二竺! 堕丝1 2T i 2 4 ! 竺二竺2 1 丝二! ! 乃， 2 N ( N + 1 ) ( + 2 )N ( N + 1 ) ( + 2 ) 一旦熹忑巩l i ，t h er o u t es e g m e n ti st h ed e c e l e r a t i o n s t a g e F r o mE q ( 10 ) ，t h ed i s c r e t ee x p r e s s i o no ft h e m a x i m u md e c e l e r a t i o nl e n g t hS 1c a nb ec o m p u t e d I f S 1 冼，t h ee n df e e d r a t e c a n n o tb er e a c h e da tt h ee n d p o i n t w h e r eLi St h el e n g t ho ft h er o u t es e g m e n t F o r t h ed e c e l e r a t i o ns t a g e t h et h e o r e t i c a ld e c e l e r a t i o