课程标准的设计思路.ppt

课程标准的设计思路,整体的把握数学课程 首都师范大学,整体的把握数学课程,高中数学课程内容的基本脉络 主线 高中数学课程内容的基本结构,高中数学课程内容主线,函 数 几 何 运 算 算 法 统 计 概 率 应 用,高中数学课程内容主线函数,高中数学课程内容主线函数,20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”,高中数学课程内容主线函数,高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。,高中数学课程内容主线函数,1对函数的认识 （1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型 （2）函数是联结两类对象的桥梁 （3）函数是“图形”,高中数学课程内容主线函数,以上是认识函数的三个不同角度，它们可以帮助我们更全面地认识函数，也是学生在高中阶段中应留下的东西。这些对于进一步学习是很重要的。进入大学，在高等数学的学习中，我们还会学习认识函数的新的视角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函数作为一个整体，并讨论整体的结构。,高中数学课程内容主线函数,2中学数学研究函数的什么性质 数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。因为，函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性。 单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。 在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个阶段。 第一阶段，用运算的性质研究单调性； 第二阶段，用导数的性质研究单调性。,高中数学课程内容主线函数,3具体函数模型 简单的幂函数及其拓展 实际函数的模型分段函数 指数函数 对数函数 三角函数 数列,高中数学课程内容主线函数,4函数与其他内容的联系 函数与方程 函数与数列 函数与不等式 函数与线性规划 函数与算法,高中数学课程内容主线函数,总之，在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列3、4中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。,高中数学课程内容主线几何,高中数学课程内容主线几何,1. 几何的教育功能 高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力。这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。 在高中数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力。几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片面的。,高中数学课程内容主线几何,1. 几何的教育功能 在中学数学课程中重视几何内容是我国数学教育的传统，也是共识。但是，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学内容，却没有引起足够的重视。在实验区听课时，最令我们感到遗憾的是：教师不太喜欢“画图”，讲解析几何时也不画图。 事实上，几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。,高中数学课程内容主线几何,2中学几何研究的对象 中学几何主要是研究图形的位置关系和度量的。最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。中学几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。,高中数学课程内容主线几何,3几何研究图形的方法 中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析法，向量几何的方法，函数的方法等。,高中数学课程内容主线几何,4几何内容的设计 几何课程的设计分为两部分。一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。另一部分是设计了相应的几何内容。,高中数学课程内容主线运算,高中数学课程内容主线运算,对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。“运算”包括两方面，一个是“运算的对象”，一个是“运算的规律”。“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对数”、“三角函数”、“向量”等等都是运算对象。“结合律”、“a+(-a)=0”（即加一项，减一项）、“交换律”、各种“分配律”等等都是运算规律。“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线，在高中数学课程中，发挥着不可替代的作用。,高中数学课程内容主线运算,1对运算的认识 运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。 从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。 从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。 在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。上述种种运算的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。,高中数学课程内容主线运算,2运算的作用 （1）运算与推理 （2）运算与算法 （3）运算与恒等变形,高中数学课程内容主线运算,3运算内容的设计 在高中数学课程中，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算；对数运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量和空间向量；复数运算；导数运算；等等。,高中数学课程内容主线算法,高中数学课程内容主线算法,算法也是设计高中数学课程的一条主线。有三方面的问题应该特别注意：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。 算法教学应该采用“案例教学”，从具体的学生熟悉的实例出发，在具体的情境中、在处理具体问题过程中，使学生理解：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。,高中数学课程内容主线算法,1算法的作用 （1）算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力 （2）算法学习有助于学生全面的理解运算 （3）算法学习有助于提高学生的信息素养,高中数学课程内容主线算法,2算法的基本思想 算法的基本思想是指按照确定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一系列的步骤，一步一步地去完成，这就是算法的思想，即程序化的思想。以前，在高中数学课程中没有给出“算法”这个名词，但是，我们却熟悉许多问题的算法，一直在利用算法的思想。例如，我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式，一元二次不等式的算法，求解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法，等等。,高中数学课程内容主线算法,3算法的基本结构 （1）顺序结构; （2）分叉（选择）结构; （3）循环结构。,高中数学课程内容主线算法,4算法的基本语句 输入输出语句 条件语句 循环语句,高中数学课程内容主线算法,5算法内容的设计 在高中数学课程中，算法内容的设计分为两部分。 一部分主要介绍算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。 另一部分是把算法的思想融入相关数学内容中。,高中数学课程内容主线统计概率,高中数学课程内容主线统计概率,目前我们的社会已经进入了信息时代，信息的主要载体是数据。收集数据、整理数据、分析数据、从数据中提取有用信息、利用数据中的信息说明问题等等，这些已经成为人们的基本素质和能力。这些变化必然会直接影响到数学课程的设置。概率与统计是在1958年前后，进入中国大学数学课程。几经反复，到了文化革命以后，概率与统计在大学数学课程中，站住了脚，同时，也渗透到其它相关学科中，在大学，相当多的专业都需要开设统计概率课程，例如，在生物学科中，学习统计也成为了重要的课程。这是一个重大的变化。,高中数学课程内容主线统计概率,在传统的大学概率统计课程中，概率的分量大于统计，或者说在这些课程中是重概率。随着时代的发展，统计在社会发展中的作用越来越大，在大学的概率统计课程又发生了新的变化，近年来，在数学与应用数学专业中，统计概率课已经成为基础课，它与数学分析、高等代数、解析几何、普通物理、数学建模、计算机基础都成为基础课。在概率统计课程中，课程内容的结构也发生了变化，统计的分量大大的加强了。 这种变化也影响到了中小学的课程，现在中小学的课程中统计概率的内容大大的增加，这已经成为国际中小学数学课程发展的趋势。,高中数学课程内容主线统计概率,数据处理的能力 统计注重过程 统计采用的案例的教学方式 统计是一种归纳的思维 随机的思想 统计中的随机思想,高中数学课程内容主线应用,高中数学课程内容主线应用,对于高中课程中数学的应用，可以分成三个层次来理解，分别是：知识的背景和对实际问题的数学描述；对数学模型的认识和在实际中的直接应用；经历数学建模的过程。,高中数学课程内容的基本结构,必修内容的基本结构 必修与选修系列1内容的基本结构 必修与选修系列2内容的基本结构 选修系列3内容的基本结构 选修系列4内容的基本结构,必修课程知识结构,选修3结构定位,选修系列3的六个专题可以按照以下方式进行分类： 文化类： 选修3-1 数学史选讲 代数类： 选修3-6 三等分角与数域扩充 选修3-4 对称与群 几何类： 选修3-3 球面几何 选修3-5 欧拉公式与闭曲面分类 应用类： 选修3-2 信息安全与密码,选修3结构定位,“系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置的，所涉的内容都是数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想。有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法。这些专题的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识。” “专题力求深入浅出、通俗易懂，进一步提高学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力，让学生掌握和体会一些重要的概念、结论和思想方法，体会数学的作用，发展应用意识。”,选修3结构定位,在系列3教学中应该注意的几个问题： 系列3是基础。系列3不是学习大学数学的预备课程，也不是为将来准备进入数学系学习的学生做准备。 在系列3的教学中，应该把重点放在介绍基本的数学思想。 在系列3的教学中，要不断地开发资源，把难的东西变容易，用具体来反映一般，用直观来反映抽象。 系列3课程是不进入高考的课程，但是学习这部分课程对于提高数学素养、培养学生解决问题的能力和激发学生学习数学的兴趣是十分有用的。各个学校可以按照各自的情况有选择性地逐步开设这些专题。下面我们按专题介绍：背景，知识结构和内容定位，重、难点定位，教学要求，参考文献等。,数学史选讲,“数学史选讲”是希望告诉学生数学发展的一个基本的脉络，选择了数学历史发展中一些重要的事件、成果作为线索，介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗人生。,数学史选讲,球面上的几何,对球面上的几何，顾名思义，讨论“球面上图形的性质”，我们学过平面几何，这两种几何有什么相同，有什么不同？球面上的几何有什么用处？“球面上的几何”这一专题主要就讨论这些问题。,球面上的几何,信息安全与密码,在“信息时代”，传送信息时对保密的要求越来越大。在“信息安全与密码”中，将告诉学生一些基本的数学原理，学生可以通过操作，进一步了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。,信息安全与密码,对称与群,“对称”是日常生活中常用的词，特别在生活中有很多“对称的”很漂亮的图形，这些对称图形不相同，如何对它们加以区别？这些对称图形中蕴涵了什么数学思想方法？“对称”有什么用处？“对称与群”专题将讨论这些问题。,对称与群,欧拉公式与闭曲面分类,欧拉是最伟大的数学家之一，他的成就非常丰富，多面体的欧拉公式就是其中之一。四面体、长方体等都是多面体，欧拉发现了：这些图形的“面数减去棱数再加上顶点数等于2”，并且他给出了很好的证明。这是很有趣的，它反映了这些图形曲面的性质。那么，是否还有其他图形也有这样的性质？是否所有多面体的曲面都有这样的性质？等等。“欧拉定理与闭曲面分类”这个专题将回答这些问题。,欧拉公式与闭曲面分类,三等分角与数域扩充,“用尺规可以三等分角吗？”这是学生都想了解的一个问题。在“三等分角与数域扩充”这个专题中，将引导学生一步一步地解决这个问题。学生会发现，解决这样问题与做习题不大一样，其中蕴涵着一种思考方法，不论是否专门学习数学，这种思考问题的方法都是很有用的。,三等分角与数域扩充,选修4结构定位,选修系列4的十个专题可以按照以下方式进行分类： 代数类： 选修4-5 不等式选讲 选修4-4 坐标系与参数方程 选修4-6 初等数论初步 几何类： 选修4-2 矩阵与变换 选修4-1 几何证明选讲 分析类： 选修4-3 数列与差分 应用类： 选修4-7 优选法与试验设计初步 选修4-10开关电路与布尔代数 选修4-9 风险与决策 选修4-8 统筹法与图论初步,选修4结构定位,在系列4教学中应该注意的几个问题是： 系列4是基础，系列4不是学习大学数学的预备课程，也不是为将来准备进入数学系学习的学生做准备。 在系列4的教学中，应该把重点放在介绍基本的数学思想。 在系列4的教学中，要不断地开发资源，把难的东西变容易，用具体来反映一般，用直观来反映抽象。 系列4课程是进入高考的课程，学习这部分课程对于提高数学素养、培养学生解决问题的能力和激发学生学习数学的兴趣是十分有用的。各学校可以按照各自的情况有选择性地逐步开设这些专题。,几何证明选讲,几何课程是数学课程的主要内容，也是中小学数学课程的主要内容。在高中必修课程中，我们设置了立体几何初步、解析几何初步、平面向量等几何课程的内容，在选修1、2课程中，我们设置了圆锥曲线、空间向量与立体几何等几何课程内容。 在本专题中，我们是在义务教育数学课程学习的基础上，设置了两部分的内容。一部分内容是以直线与圆的关系为载体，利用相似的理论，讨论圆与直线的位置关系，及其位置关系中的一些几何结果。这部分内容可以成为一个相对独立的体系，对于提高学生的逻辑推理能力会发挥一些作用。在另一部分内容中，我们利用综合几何的方法，依托锥面与平面的关系，讨论它们所截得的曲线的几何特征，即讨论圆锥曲线的基本性质。,几何证明选讲,不等式选讲,恒等关系和不等关系是数学中两种基本的关系，也是中小学数学课程的基本内容，这些内容都是依托不同运算对象的运算规律来完成的。在高中必修课程中，我们设置了有关不等式和简单线性规划的内容。 本专题在义务教育课程的基础上，进一步讨论了不等式的基本性质和基本不等式；绝对值不等式及其几何意义，并利用绝对值不等式的几何意义证明和求解一些绝对值不等式；认识柯西不等式的几种不同形式及其几何意义，用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况；用向量递归方法讨论排序不等式；了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题；会用数学归纳法证明贝努利不等式；会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值；通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。,不等式选讲,坐标系与参数方程,解析几何有两个核心概念，一个是坐标系，一个是在坐标系中建立曲线与方程的关系。在义务教育阶段和高中必修课程中，主要学习直角坐标系，并在直角坐标系中讨论了直线、圆、圆锥曲线，及其这些曲线与方程的关系。 本专题将在义务教育课程的基础上，介绍极坐标系、柱坐标系、球坐标系等内容，在这些坐标系中讨论简单曲线（直线、圆、圆锥曲线、摆线等）与它们方程的关系。,坐标系与参数方程,矩阵与变换,在义务教育阶段我们学习了几种重要的几何变换，例如，反射变换，旋转变换，平移变换，放缩变换等。 本专题在义务教育的基础上，介绍反映上述变换的代数表达形式二阶矩阵，把二阶矩阵看作表示变换的工具，二阶矩阵把平面上的每一个点或每一个向量变成平面上另一个点或一个向量。在这里，矩阵就是映射。我们讨论了反映变换的矩阵的基本性质及其几何意义、在讨论问题中的作用。对于矩阵来说，既可以把它看作一个代数的研究对象，从运算的角度来讨论它；矩阵又可以看作描述几何变换的对象。在本专题中，我们更强调矩阵的几何背景和在讨论几何问题中的作用。,矩阵与变换,数列与差分,函数是数学中一类重要的对象，对于可导的函数，导数和微分是研究这些函数的基本工具。数列是一类特殊的函数，有时也称为“离散”的函数，差分是研究这一类函数的工具。 本专题在义务教育学习的基础上，利用差分工具讨论了一些简单数列的规律，例如，等差数列、等比数列以及一阶差分数列。初步体会研究数列这样的离散函数的思想方法。,数列与差分,初等数论初步,整数有加、减、乘、除的运算，整数除法是大家熟悉的运算。本专题的第一个重要概念就是除法，特别是带余除法。它可以很好的反映整数的性质，能够很好的对整数进行分类。素数是本专题的另一个重要概念，我们将帮助学生体会素数在研究整数性质中的作用。本专题的另一个重要概念是同余，同余反映了整数之间的一种新的关系，同余类又为我们提供了一种新的运算平台，我们将利用同余的概念讨论一种新的方程形式简单的同余方程、同余方程组。,初等数论初步,优选法与试验设计初步,本专题分成两个部分，一部分是针对多因素问题学习如何设计试验方案，以求得实现试验次数少，而试验效果好的目的。在这部分内容中，我们通过具体的实例介绍了两种选择试验方案的工具，一种是拉丁方，另一种是正交表。 本专题的第二部分内容就是优选法，在生产实践和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目的，需要对有关因素的最佳点进