工程数学复习-概率统计.ppt

集合常用公式,例1: 袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八张卡片中任取一张，设事件为“抽得一张标号不大于的卡片”，事件为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件为“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用样本点的集合表示下列事件:,-,-,() 解: 将,表示集合形式为,所以 , (),;-, -,例2:A,B,C,D四个事件，用运算关系表示： （1）A,B,C,D至少有一个发生； （2）都不发生；（3）都发生； （4）A,B,C,D恰有一个发生； （5）至多一个发生。 解:（1）ABCD或 （2） 或 （3）ABCD或 （4） （5）,古典概率 若A为试验E的一事件，试验E的样本空间为，且A含有k个样本点则事件A的概率就是,二、古典概率,例2: 取球问题 一袋中共有10个球，6白，4红，采用摸后“放回”“不放回”两种方式任取出3个球，试求两种方式下这3个球中 1) 全为白球; 2) 恰含1个白2个红的概率。,将古典概率的方法引申一下，便得到确定概率的“几何方法”。 满足下列条件的试验，称为“几何概型”： (1)样本空间是直线或二维、三维空间中的度量有限的区间或区域； (2)样本点在其上是均匀分布的。 定义：在几何概型中，若样本空间所对应区域的度量为L(),且事件A的度量为L(A) ，则A的概率为,这里L（），可代表图形的长度，面积或体积等。,三、几何概型,例4:在0，2区间内任取两个数x和y，问“x+y1的概率为多少？ 解:由题意知 0x2，0y2， 设x+y1为事件A，样本空间和事件A分别可表示为： =（x,y）| 0x2, 0y2 A=(x,y)| x+y1, (x,y) P(A)=红色区域面积/正方形面积 =3.5/4=0.875,四. 概率的性质 （1）P()=0, P()=1,(3),（4）若AB，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).,(2),（5）P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).,例6:设P(A)=1/3,P(B)=1/2, (1)若事件A，B互不相容，求P(BA); (2)若A真包含于B，求P(BA); (3)若P(AB)=1/8,求P(BA)。 解:（1）若A,B互不相容，则 P(BA)=P(B) =1/2; (2)若A真包含于B，则因为BA=B-A,从而 P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6; (3)利用BA=B-A=B-AB,得：P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) =1/2-1/8=3/8 .,1定义: 设A，B是某一试验的两事件，且P(B)0，称,为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.,一、条件概率,1.乘法公式 由条件概率定义，若P(B)0，则P(AB)=P(A|B)P(B) 若P(A)0,则P(AB)=P(B|A)P(A) 上述公式可推广到任意有限多个事件时的情形，例如，设A，B，C为事件，且P(AB)0，则 P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB) 这里，注意到由假设P(AB)0可推得P(A)P(AB)0.,一般，设A1,A2,An为n个事件，n2,且P(A1A2An-1)0，则有: P(A1A2An )= P(A1)P(A2|A1) P(An-1|A1A2An-2)P(An|A1A2An-1),二、关于条件概率的三个公式,例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。 解：设Ai表示第 i 次取到黑球,设试验E的样本空间为，A为E的事件，B1，B2，Bn为的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2，n)则 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn) 称为全概率公式。,2.全概率公式,定理：设试验E的样本空间为,A为E的事件，B1，B2，Bn为的一个划分，且P（A）0，P（Bi）0（i=1，2，n），则,i=1，2，n.称为贝叶斯（Bayes）公式。,3.贝叶斯公式,例4:某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品率及提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志（1）在仓库中随机地取一只晶体管求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。, 1-4 事件的独立性,1.定义 设A，B为两事件，如果具有等式 P（AB）=P（A）P（B） 则称A,B为相互独立的事件,又称A,B相互独立。,2.性质,（1） 若A，B两事件相互独立，且P(A)0(P(B)0)，则P(B|A)=P(B) (P(A|B)=P(A)。,（3）若P(A)0，P(B)0，则A，B相互独立，与A，B互不相容不能同时成立。,（4）必然事件与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立,例5 在一个系统中部件能正确工作的概率称为部件的可靠度，系统能正常工作的概率称为系统的可靠度。现有四个部件构成下图所示系统，如果构成系统的每个元件的可靠度均为r，0r1，且各元件能否正常工作是相互独立的，试求该系统的可靠度。,例10：足球队比赛的例子，踢平和输的概率各为1/4，打赢的概率为1/2，求其得分的分布函数 当x0时, F(x)=PXx=P()=0; 当0x1时, F(x)= PXx=PX=0=1/4 ; 当1x2时, F(x)= PXx=PX=0+PX=1=1/2; 当x2时, F(x)=PXx= PX=0+PX=1+PX=2=1.,例2: 设随机变量X的分布律为,求X的分布函数，并求,连续型随机变量：,4概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系： (1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为,(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F(x).,例1: 设随机变量X具有概率密度,(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求PX0.1。,1设连续随机变量X具有概率密度,则称X在区间(a，b)上服从均匀分布，记为XU(a，b). 若XU(a，b)，则容易计算出X的分布函数为,例3: 设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧1100欧。求R的概率密度及R落在950欧1050欧的概率。 解: 按题意，R的概率密度为,验证f(x)是一个合理的概率密度函数: 显然，f(x)0； 下面验证,（1）定义1：设随机变量X的概率密度为,其中，（0）为常数，则称X服从参数为,2的正态分布,记为XN(,2)。,3正态分布,定义2：当=0，=1时称X服从标准正态分布，记为 XN(0，1)，其概率密度为,(2) 正态密度函数f(x)的几何特征,驻点：x=,为函数的极大值点； 拐点：x=.作图如下,如果固定，改变的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线y=f(x)的位置完全由参数所确定，称为位置参数。 如果固定，改变，由于最大值 ，可知当越小时图形变得越尖，因而X落在附近的概率越大。,例5: 设XN(1.5，22)，求P-1x2。 解:,例1: 一整数X，随机地在1，2，3，4四个数中取任一值，另一整数Y随机地在1X中取值，求(X,Y)的分布律。 解：,1 2 3 4,1/4 1/4*1/2 1/4*1/3 1/4*1/4 0 1/4*1/2 1/4*1/3 1/4 *1/4 0 0 1/4*1/3 1/4 *1/4 4 0 0 0 1/4 *1/4,1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有,则称(X,Y)是二维连续型随机向量,函数 f(x,y)称为二维 向量(X,Y)的(联合)概率密度.,2概率密度f(x,y)的性质,四、二维连续型随机变量,(3).若f(x,y)在点(x,y)连续，则有,(4).设G是xy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内的概率为:,例3: 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,(i)求常数A及分布函数F(x,y); (ii)求概率PYX,例4 若(X,Y)在D1上服从均匀分布，D1为x轴、y轴及直线y=2x+1所围。求: (X,Y)的概率密度与分布函数。,例1：已知(X,Y)的分布律如下,求(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。,三、连续型随机向量(X,Y)的边缘概率密度,例3: 设(X,Y)在单位圆D(x,y)|x2+y21上服从均匀分布,求边缘概率密度fx(x),fY(y)。,例2: 论X与Y的独立性。,求(1)Y=X-1; (2)Y= -2X2的分布律,例1: 设离散型随机变量X的分布律为,一、离散型随机变量函数的分布,二、连续型随