高中数学单元质量评估（二）（含解析）新人教A版2.docx

第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.椭圆x29+y2k2=1与双曲线x2k-y23=1有相同的焦点,则k应满足的条件是()A.k3B.2k3C.k=2D.0k0,=,所以k=2.2.(2016菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x2+y22=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为()A.x2-y2=1B.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2【解析】选D.由题意设双曲线方程为-=1,离心率为e,椭圆x2+=1长轴端点为(0,),所以a=,又椭圆的离心率为,所以双曲线的离心率为,所以c=2,b=,则双曲线的方程为y2-x2=2.3.(2016浙江高考)已知椭圆C1:x2m2+y2=1(m1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e21,n0,所以mn,(e1e2)21,所以e1e21.4.(2016潍坊高二检测)设椭圆x2m2+y2n2=1(m0,n0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为()A.x212+y216=1B.x216+y212=1C.x248+y264=1D.x264+y248=1【解析】选B.因为y2=8x的焦点为(2,0),所以+=1的右焦点为(2,0),所以mn且c=2.又e=,所以m=4.因为c2=m2-n2=4,所以n2=12.所以椭圆方程为+=1.【补偿训练】(2016成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程是()A.x25-y22=1B.x22-y25=1C.x23-y24=1D.x24-y23=1【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程-=1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN中点的横坐标建立a,b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a,b的一个方程,最后解a,b的方程组即得双曲线方程.【解析】选B.设双曲线方程为-=1,将y=x-1代入-=1,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由根与系数的关系得x1+x2=2a2a2-b2,则=-.又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,所以双曲线的方程为-=1.5.P是长轴在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差一定是()A.1B.a2C.b2D.c2【解析】选D.由椭圆的几何性质得|PF1|a-c,a+c,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2-c2+a2=b2,所以|PF1|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.6.(2016天津高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB的面积为3,则p=()A.1B.32C.2D.3【解析】选C.因为e=2,所以b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=x,不妨设A=,B,则AB=p,又三角形的高为,则SAOB=p=,即p2=4,又因为p0,所以p=2.7.(2016东营高二检测)已知点P是抛物线y2=-8x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是()A.3B.23C.62D.3【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由点F向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P时,d1+d2取到最小值,即=6.8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于()A.2或-1B.-1C.2D.15【解析】选C.由消去y得,k2x2-4(k+2)x+4=0,故=-4(k+2)2-4k24=64(1+k)0,解得k-1,由x1+x2=4,解得k=-1或k=2,又因为k-1,故k=2.【易错警示】本题易忽略0而错选A.9.(2016邯郸高二检测)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为23,则双曲线的渐近线方程为()A.y=22xB.y=2xC.y=12xD.y=2x【解析】选A.由题意得解得所以a=,因此双曲线的方程为-y2=1,所以渐近线方程为y=22x.10.(2015福建高考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=bb1,所以e=32,又e(0,1),所以e.11.(2016哈尔滨高二检测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1【解析】选D.设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),所以两式相减得,x12-x22a2=y22-y12b2,即=,因为x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k=,又因为k=,所以=,又因为c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,所以b2=9,a2=18,即E的标准方程为+=1.12.(2016宝鸡高二检测)设抛物线C:y2=3px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得F,A(0,2),My023p,y0,因为AFAM,所以kAFkAM=-1,即=-1,所以-8y0+16=0,所以y0=4,所以M,因为|MF|=5,所以5=,所以=9.所以-=3或-=-3,所以9p2-36p-64=0,或9p2+36p-64=0,由得p=-(舍),p=.由得p=,p=-,所以C的方程为y2=4x或y2=16x.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.椭圆mx2+ny2=1与直线l:x+y=1交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线斜率为22,则mn=.【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),所以m+n=1m+n=1又因为=-1,所以-得:m=n,因为=22,所以m=22n,所以=22.答案:2214.直线y=kx+1(kR)与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,则m的取值范围为.【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.由m0,5k20,知m+5k20,故=100k2-4(m+5k2)(5-5m)0对kR恒成立.即5k21-m对kR恒成立,故1-m0,所以m1.又因为m5,所以m的取值范围是m1且m5.答案:m1且m5【易错警示】本题易忽略隐含条件m5而出错.15.(2015山东高考)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为.【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c的关系,进而求出离心率e.【解析】将y=(x-c)代入-=1消去y得-=1,因为xP=2ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1PF2,则椭圆的离心率的取值范围为()A.22,1B.22,1C.0,22D.0,22【解析】选A.由PF1PF2,知F1PF2是直角三角形,所以|OP|=cb,即c2a2-c2,所以ac,因为e=,0e1,所以22eb0)的右焦点F(c,0)关于直线y=bcx的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e=22.答案:22三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为P32,6,求抛物线方程和双曲线方程.【解析】依题意,设抛物线方程为y2=2px(p0),因为点在抛物线上,所以6=2p,所以p=2,所以所求抛物线方程为y2=4x.因为双曲线左焦点在抛物线的准线x=-1上,所以c=1,即a2+b2=1,又点在双曲线上,所以-=1,由解得a2=,b2=.所以所求双曲线方程为4x2-y2=1.【补偿训练】若已知椭圆x210+y2m=1与双曲线x2-y2b=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P103,y,求椭圆及双曲线的方程.【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得10-m=1+b,即m=9-b,又因为点P在椭圆、双曲线上,所以y2=m,y2=.解由组成的方程组得m=1,b=8,所以椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1.18.(12分)求以直线x+2y=0为渐近线,且截直线x-y-3=0所得弦长为833的双曲线的标准方程.【解析】由于双曲线的渐近线方程为x+2y=0,故可设双曲线方程为x2-4y2=(0).设直线x-y-3=0与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组消去y,整理得3x2-24x+36+=0.由=(-24)2-34(36+)0,解得12.由根与系数关系可得代入弦长公式中,|AB|=|x1-x2|=8(12-位)3,于是8(12-位)3=,解得=4(与0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1b0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1PF2,试求:(1)椭圆的方程.(2)PF1F2的面积.【解析】(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c0),则b2=a2-c2.因为PF1PF2,所以=-1,即=-1,解得c=5,所以设椭圆方程为+=1.因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1.解得a2=45或a2=5.又因为ac,所以a2=5(舍去).故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,2-得2|PF1|PF2|=80,所以=|PF1|PF2|=20.【补偿训练】已知抛物线C:y2=2px(p0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于55?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p1,所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以=4+8t0,解得t-.另一方面,由直线OA到l的距离d=55,可得=,解得t=1.因为-1,1,所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=14x2的焦点,离心率为255.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.【解析】(1)设椭圆C的标准方程为+=1(ab0).抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.由e=.得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),代入方程+y2=1,得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.所以x1+x2=,x1x2=.又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).因为=m,=n,所以m=,n=,所以m+n=,又2x1x2-2(x1+x2)=-,4-2(x1+x2)+x1x2=4-+=,所以m+n=10.22.(12分)(2016北京高考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率.(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.【