高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2习题（含解析）新人教A版.docx

选修1-1第二章2.32.3.2一、选择题1过抛物线y22px(p0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则AOB的大小()A小于90 B等于90C大于90 D不能确定答案C解析过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为，由三角函数知识可知，AOB大于90.2若AB为抛物线y24x的弦，且A(x1,4)、B(x2,2)，则|AB|()A13B C6 D4答案B解析代入点A，B可得x14，x21，由两点间距离公式得|AB|.3若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A(，) B(，)C(，) D(，)答案B解析设焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|PO|，又F(，0)，x0，y，y0，故选B4已知P(8，a)在抛物线y24px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2 B4 C8 D16答案B解析根据题意可知，P点到准线的距离为8p10，可得p2，所以焦点到准线的距离为2p4，选B5已知F是抛物线y2x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A B1 C D答案C解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|BF|3得，x1x23，x1x2，线段AB的中点到y轴的距离为.6已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B C2 D3答案C解析本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积2，b23a2，双曲线的两条渐近线方程为yx，不妨设A(，)，B(，)，则ABp，又三角形的高为，则SAOBp，即p24，又p0，p2.二、填空题7过点M(3,2)作直线l与抛物线y28x只有一个交点，这样的直线共有_条.答案1解析点M(3,2)在抛物线内部，过点M平行于x轴的直线y2与抛物线y28x只有一个交点8若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为_.答案(9，6)或(9,6)解析由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x，设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(9)10，p2，故抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线方程，得y6，M(9,6)或M(9，6)9已知F是抛物线y24x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|FB|，则_.答案32解析抛物线y24x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，消去y得x26x10，求得x132，x232，故由抛物线的定义可得32.三、解答题10(2016山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程.解析如图，依题意可设抛物线标准方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，过A、B分别作准线的垂线，垂足为C、D，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1x2，即x1x2p8.又A(x1，y1)、B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由，消去y得x23px0.x1x23p.将其代入，得p2.所求的抛物线标准方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线标准方程为y24x.一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k()A2或2 B1 C2 D3答案C解析由，得k2x24(k2)x40，则4，即k2.2(2016山东聊城高二检测)已知点F是抛物线y24x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|NF|6，则MN中点的横坐标为()A B2 C D3答案B解析F是抛物线y24x的焦点，F(1,0)，准线方程x1，设M(xM，yM)、N(xN，yN)，|MF|NF|xM1xN16，解得xMxN4，MN中点的横坐标为2.3等腰RtABO内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则ABO的面积是()A8p2 B4p2 C2p2 Dp2答案B解析设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OAOB知，直线OA的方程为yx.由，得A(2p,2p)则B(2p，2p)，所以AB4p.所以SABO4p2p4p2.4过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则的值是()A12 B12 C3 D3答案D解析设A(，y1)、B(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则(，y1)(，y2)y1y2，又AB过焦点，则有y1y2p24，y1y243，故选D二、填空题5已知直线ya交抛物线yx2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_.答案a1解析本题考查了直角三角形的性质抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(，a)，B(，a)，C(x0，x)，则(x0，ax)，(x0，ax)，ACB90.(x0，ax)(x0，ax)0.xa(ax)20，则xa0.(ax)(ax1)0，ax10.xa1，又x0.a1.6P为抛物线yx2上一动点，直线l：yx1，则点P到直线l距离的最小值为_.答案解析设P(x0，x)为抛物线上的点，则P到直线yx1的距离d.当x0时，dmin.三、解答题7过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点若|AF|3，求|BF|的长.解析设点A(x1，y1)、B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可得，x113，x12，A点坐标为(2,2)，则直线AB的斜率为k2.直线AB的方程为y2(x1)由，消去y得，2x25x20，解得x12，x2.|BF|x21.8已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB长度的最小值解析由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)、B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得，消去y整理得，k2x2(2