高中数学单元质量评估（一）（含解析）新人教A版.docx

单元质量评估(一) (第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.命题“若x21,则-1x1”的逆否命题是()A.若x21,则x1,或x-1B.若-1x1,则x21,或x1D.若x1或x-1,则x21【解析】选D.命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.2.(2015北京高考)设,是两个不同的平面,m是直线且m,“m”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当m时,可能,也可能与相交.当时,由m可知,m.因此,“m”是“”的必要而不充分条件.【补偿训练】(2016烟台高二检测)已知p:,q:coscos,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】根据原命题与其逆否命题的真假性相同,要判断p是q的什么条件,只需判断q是p的什么条件.【解析】选B.p:=;q:cos=cos,显然pq成立,但qp,所以q是p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.3.设a,b为向量,则“”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.a,b为向量,设a与b的夹角为.由从而得=1,cos=1,所以=0或,能够推得ab,反之也能够成立,为充分必要条件.4.若一个命题p的逆命题是一个假命题,则下列判断一定正确的是()A.命题p是真命题B.命题p的否命题是假命题C.命题p的逆否命题是假命题D.命题p的否命题是真命题【解析】选B.命题p的逆命题与其否命题是互为逆否命题,具有相同的真假性,其他命题的真假无法确定.5.(2016海口高二检测)已知命题p:x0(-,0),命题q:x(0,1),log2x0,则下列命题为真命题的是()A.pqB.p(q)C.(p)qD.p(q)【解析】选C.由指数函数的图象与性质可知,命题p是假命题,由对数函数的图象与性质可知,命题q是真命题,则命题“pq”为假命题,命题“p(q)”为假命题,命题“(p)q”为真命题,命题“p(q)”为假命题,故选C.6.(2016杭州高二检测)命题“x1,2,x2-a0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a4B.a4C.a5D.a5【解析】选C.命题“x1,2,x2-a0”为真命题的充要条件是a4,故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合4,+)的非空真子集,正确选项为C.【误区警示】本题易出现的误区是条件与结论没有区别开,若a是b成立的条件,则a是条件,b是结论,若a成立的条件是b,则结论是a.7.对xR,kx2-kx-10是真命题,则k的取值范围是()A.-4k0B.-4k0C.-4k0D.-4k0【解析】选C.由题意知kx2-kx-10对任意xR恒成立,当k=0时,-10恒成立;当k0时,有即-4k0,所以-4k0.8.(2016广州高二检测)下列各小题中,p是q的充分必要条件的是()p:cos=cos,q:tan=tan;p:=1,q:y=f(x)是偶函数;p:AB=A;q:BA;p:m6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.A.B.C.D.【解析】选C.当=,=-时,cos=cos,tantan,故pq,同理p q,不符合;由=1f(x)=f(-x)f(x)为偶函数,而逆命题为假,如f(x)=x2,不符合;由AB=AABBA,符合;函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件为=m2-4(m+3)0,即(m+2)(m-6)0,解得m6,符合.【误区警示】原命题与逆命题都真时,命题的条件与结论互为充要条件,本题易忽视对命题“若p,则q”以及逆命题“若q,则p”的真假的判断而误选D.9.已知命题p:函数y=2-ax+1(a0,a1)图象恒过(1,2)点;命题q:若函数f(x-1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是()A.pqB.pqC.pqD.pq【解析】选B.函数y=2-ax+1图象恒过定点(-1,1),所以命题p为假命题;若函数f(x-1)为偶函数,所以有f(-x-1)=f(x-1),关于直线x=-1对称,所以命题q为假命题;所以p为真,q为真,故选B.10.(2016郑州高二检测)下列结论中,正确的是()命题“如果p2+q2=2,则p+q2”的逆否命题是“如果p+q2,则p2+q22”;已知a,b,c为非零的平面向量.甲:ab=ac,乙:b=c,则甲是乙的必要条件,但不是充分条件;p:y=ax(a0,且a1)是周期函数,q:y=sinx是周期函数,则pq是真命题;命题p:x0R,-3x0+20的否定是p:xR,x2-3x+2y是x2y2成立的充要条件C.设p,q为简单命题,若“pq”为假命题,则“pq”也为假命题D.命题“若=0,则cos=1”的逆否命题为真命题【解析】选D.对A,命题的否定是:“xR,使得x2+x+1yx2y2,且x2y2xy,故不正确.对于C,若“pq”为假命题,则“pq”为真命题,故不正确.对于D,若=0,则cos=1是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确.2.(2016枣庄高二检测)给出如下四个命题:若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;命题“若ab,则2a2b-1”的否命题为“若ab,则2a2b-1”;“xR,x2+11”的否定是“x0R, x02+11”;在ABC中,“AB”是“sinAsinB”的充要条件.其中不正确的命题的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选C.若“p且q”为假命题,则p,q中有一个为假命题,不一定p,q均为假命题,故错;根据命题写出其否命题时,只须对条件与结论都进行否定即可,故命题“若ab,则2a2b-1”的否命题为“若ab,则2a2b-1”,正确;根据由一个命题的否定的定义可知:改变相应的量词,然后否定结论:“xR,x2+11”的否定是“x0R,+1B”是“sinAsinB”的充要条件.故正确.其中不正确的命题的个数是2.11.已知命题p:“对xR,mR,使4x+2xm+1=0”.若命题p是假命题,则实数m的取值范围是()A.-2m2B.m2C.m-2D.m-2或m2【解析】选C.因为p假,所以p真.对xR,t=2x0,即求使t2+mt+1=0(t0)成立的m的范围,而二次函数y=t2+mt+1开口向上,且恒过定点(0,1),故所以m-2.12.(2016武汉高二检测)定义域为R的偶函数f(x)满足对xR,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x2,3时,f(x)=-2(x-3)2,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+)上至少有三个零点,则a的取值范围为()A.B.C.D.【解题指南】对函数恒等式进行赋值,探究函数的周期性、对称性,画出函数图象,建立不等式求解.【解析】选B.由于定义域为R的偶函数f(x)满足对xR,有f(x+2)=f(x)-f(1),得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,故f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期T=2,图象以x=2为对称轴,作出f(x)的部分图象,如图,因为y=loga(x+1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点,即有loga(2+1)f(2)=-2且0a0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是_.【解析】ax2-2ax-30恒成立,当a=0时,-30成立;当a0时,由得-3a0;所以-3a0.答案:-3,015.设nN*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_.【解析】由=16-4n0得n4,又因为nN*,故n=1,2,3,4,验证可知n=3,4,符合题意;反之,当n=3,4时,可以推出一元二次方程有整数根.答案:3或4【补偿训练】已知p:-4x-a0,若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是_.【解析】p:a-4xa+4,q:2x3,因为由p是q的充分条件(即pq),所以qp,所以所以-1a6.答案:-1,616.下列三个命题中“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为”的充要条件;“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;函数y=的最小值为2.其中是假命题的为_(将你认为是假命题的序号都填上)【解析】“k=1”可以推出“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为”,但是函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为,即y=cos2kx,T=,k=1.“a=3”不能推出“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=;函数y=+,令=t,t,ymin=+=.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)判断下列语句是否为命题,若是命题,再判断是全称命题还是特称命题,并判断真假.(1)有一个实数,tan无意义.(2)任何一条直线都有斜率吗?(3)圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径.(4)圆内接四边形的对角互补.(5)对数函数都是单调函数.【解析】(1)特称命题.当=时,tan不存在,所以,特称命题“有一个实数,tan无意义”是真命题.(2)不是命题.(3)虽然不含有全称量词,但该命题是全称命题.它的含义是任何一个圆的圆心到切线的距离都等于圆的半径,所以,全称命题“圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径”是真命题.(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形,其对角都互补”,所以该命题是全称命题且为真命题.(5)虽然不含全称量词,但“对数函数都是单调函数”中省略了“所有的”,所以该命题是全称命题且为真命题.18.(12分)判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集非空,则a1”的逆否命题的真假.【解析】方法一:(直接法)逆否命题:已知a,x为实数,如果a1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+20的解集为空集.判断如下:二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2图象的开口向上,判别式=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.因为a1,所以4a-71,所以原命题为真.又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.19.(12分)若p:|x-3|2,q:(x-m+1)(x-m-1)0,且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.【解析】由题意p:-2x-32,所以1x5.所以p:x5.q:m-1xm+1,所以q:xm+1.又因为p是q的充分不必要条件,所以所以2m4.20.(12分)(2016宿州高二检测)已知命题p:方程x2-2mx+m=0没有实数根;命题q:xR,x2+mx+10.(1)写出命题q的否定“q”.(2)如果“pq”为真命题,“pq”为假命题,求实数m的取值范围.【解析】(1)q:x0R,+mx0+10.(2)若方程x2-2mx+m=0没有实数根,则=4m2-4m0,解得0m1,即p:0mm,q:x2+mx+10,如果对任意xR,有pq为真,pq为假,求实数m的取值范围.【解析】当命题p是真命题时,由于xR,则sinx+cosx=sin-,所以有m0,则=m2-40,解得-2m2.由于pq为真,pq为假,所以p与q一真一假.考虑到函数f(x)=x2+mx+1的图象为开口向上的抛物线,对任意的xR,x2+mx+10不可能恒成立.所以只能是p为假,q为真,此时有解得-m2,所以实数m的取值范围是-,2).21.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+x.对于x0,1,|f(x)|1成立,试求实数a的取值范围.【解析】|f(x)|1-1f(x)1-1ax2+x1,x0,1.当x=0时,a0,式显然成立;当x(0,1时,式化为-a-在x(0,1上恒成立.设t=,则t1,+),则有-t2-tat2-t,所以只需-2a0,又a0,故-2a0.综上,所求实数a的取值范围是-2,0).22.(12分)(2016临沂高二检测)求关于x的方程ax2+2x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件.【解析】方程ax2+2x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是:方程只有一个负实数根或有一个正实数根与一个负实数根或有两个负实数根,或有一负一零根,设两根为x1,x2,则a=0或或或即a=0或或或即a=0或或a=0或-1a0或0a1,即-1a1.即方程ax2+2x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是-1a1.【拓展延伸】分类讨论的思想在求充要条件中的应用对于含有参数的数学式子,或者有关几何图形的不同位置的问题等,解题时通常要对问题进行分类讨论.分类讨论时要清晰全面,做到不重复、不遗漏,分类讨论后,要进行概括性的整合总结.【补偿训练】设a,b,c为ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90.【证明】充分性:因为A=90,所以