高中数学第一章单调性与最大（小）值（第1课时）函数的单调性学案（含解析）新人教A版.docx

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性知识点一增函数与减函数的定义思考图中所给出的三个函数图象，有什么共同特征？答案它们的图象由左到右是上升的梳理设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数知识点二函数的单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开(2)单调区间D定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大1如果f(x)在区间a，b和(b，c上都是增函数，则f(x)在区间a，c上是增函数()2单调区间a，b可以写成x|axb()3用定义证明函数单调性时，可设x1x2.()4证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可()类型一求单调区间并判断单调性例1如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解yf(x)的单调区间有5，2)，2,1)，1,3)，3,5，其中yf(x)在区间5，2)，1,3)上是减函数，在区间2,1)，3,5上是增函数反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有跟踪训练1函数y|x22x3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y|x22x3|的单调区间有(，1，1,1，1,3，3，)，其中单调递减区间是(，1，1,3；单调递增区间是1,1，3，)类型二证明单调性例2证明f(x)在其定义域上是增函数考点函数的单调性的判定与证明题点定义法证明具体函数的单调性证明f(x)的定义域为0，)设x1，x2是定义域0，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).0x1x2，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在它的定义域0，)上是增函数反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值作差变形定号小结跟踪训练2求证：函数f(x)x在1，)上是增函数考点函数的单调性的判定与证明题点定义法证明具体函数的单调性证明设x1，x2是1，)上的任意实数，且1x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).1x1x2，x1x20,10，故(x1x2)0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)x在区间1，)上是增函数类型三单调性的应用命题角度1利用单调性求参数范围例3若函数f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围为()A.B.C.D.考点函数单调性的应用题点已知分段函数单调性求参数范围答案A解析要使f(x)在R上是减函数，需满足：解得a.反思与感悟分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的跟踪训练3已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，则实数a的取值范围为_考点函数单调性的应用题点已知二次函数单调性求参数范围答案(，12，)解析由于二次函数开口向上，故其增区间为a，)，减区间为(，a，而f(x)在区间1,2上单调，所以1,2a，)或1,2(，a，即a1或a2.命题角度2用单调性解不等式例4已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式解f(1a)f(2a1)等价于解得0a，即所求a的取值范围是0a.反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小跟踪训练4在例4中若函数yf(x)的定义域为R，且为增函数，f(1a)f(2a1)，则a的取值范围又是什么？考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式解yf(x)的定义域为R，且为增函数，又f(1a)f(2a1)，1a，所求a的取值范围是.1函数yf(x)在区间2,2上的图象如图所示，则此函数的增区间是()A2,0B0,1C2,1D1,1考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间答案C2函数y的减区间是()A0，) B(，0C(，0)，(0，) D(，0)(0，)考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间答案C3在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)的是()Af(x)x2Bf(x)Cf(x)|x|Df(x)2x1考点函数的单调性的概念题点函数单调性概念的理解答案B4若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)f(1)，则x的取值范围是_考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式答案(1,1)5若函数f(x)(4x)(x2)在区间(2a,3a1)上单调递增，则实数a的取值范围是_考点函数单调性的应用题点已知二次函数单调性求参数范围答案解析f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x3，解得1a.1若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在AB上单调递减2对增函数的判断，对任意x1x2，都有f(x1)0或0.对减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1x2)f(x1)f(x2)0或0B(x1x2)f(x1)f(x2)0C若x1x2，则f(a)f(x1)f(x2)0考点函数的单调性的概念题点函数单调性概念的理解答案C解析因为f(x)在a，b上是增函数，对于任意的x1，x2a，b(x1x2)，x1x2与f(x1)f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1x2，则f(a)f(x1)f(x2)f(b)3已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么1f(x)1的解集是()A(3,0)B(0,3)C(，13，)D(，01，)考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式答案B解析由已知f(0)1，f(3)1，1f(x)1，即f(0)f(x)f(3)又f(x)在R上单调递增，0x3，1f(x)1的解集为(0,3)4已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是()Ayf(x)在R上是减函数By在R上是减函数Cyf(x)2在R上是增函数Dyaf(x)(a为实数)在R上是增函数考点函数的单调性的判定与证明题点抽象函数单调性的判断答案A解析设x1x2，因为函数f(x)在R上是增函数，故必有f(x1)f(x2)，A选项一定成立其余三项不一定成立，如当f(x)x时，B，C不成立，当a0时，D不成立5已知函数f(x)在(，)上是增函数，若a，bR且ab0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)0，ab，ba，f(x)在R上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)6已知函数f(x)若f(4a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，2) D(2，)考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式答案A解析画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4a)f(a)4aa，解得af(1)，A不对；对于C，存在x11，f(x1)f(1)，C不对；对于D，存在x11，x21，f(x1)f(x2)，D不对；只有B完全符合单调性定义8函数y的单调递增区间是()A(，3 B.C(，1) D.考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间答案B解析函数由t2x3与y复合而成，故要利用复合函数单调性的有关规律来求首先由2x30，得x.又因为t2x3在(，)上单调递增，y在定义域上是增函数，所以y的单调递增区间是.二、填空题9已知一次函数y(k1)xk在R上是增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是_考点函数单调性的应用题点已知一次函数、分式函数单调性求参数范围答案(1,0)解析依题意得解得1k0.10已知函数f(x)是(，)上的减函数，则实数a的取值范围是_考点函数单调性的应用题点已知分段函数单调性求参数范围答案解析当x0时，函数f(x)x2ax1是减函数，解得a0；当x0时，函数f(x)x3a是减函数，分段点0处的值应满足13a，解得a，0a.11已知f(x)是定义在区间1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，则x的取值范围是_考点函数单调性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式答案解析由题意，得解得1x，故满足条件的x的取值范围是1x0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围考点函数单调性的应用题点函数单调性的综合应用(1)证明设任意x1，x2(，2)，且x10，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)上单调递增(2)解设任意x1，x2(1，)，且x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述，00.01时，f(x)0.(1)求f的值；(2)判断yf(x)在(0，)上的单调性并给出证明；(3)解不等式f(2x)f(8x6)1.考点函数单调性的应用题点函数单调性的综合应用解(1)对于任意正实数