高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件1.2.2充要条件学案（含解析）新人教A版.docx

1.2.2充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断知识点一充要条件的概念(1)定义：若pq且qp，则记作pq，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件知识点二常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件知识点三从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立1若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()2若綈q是p的充要条件，则綈p是q的充要条件()类型一充要条件的判断例1(1)设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案C解析分别判断xyx|y|与x|y|xy是否成立，从而得到答案当x1，y2时，xy，但x|y|不成立；若x|y|，因为|y|y，所以xy.所以xy是x|y|的必要不充分条件(2)下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为_(填序号)在ABC中，p：AB，q：sinAsinB；若a，bR，p：a2b20，q：ab0；p：|x|3，q：x29.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断答案解析在ABC中，有ABsinAsinB，所以p是q的充要条件若a2b20，则ab0，即pq；若ab0，则a2b20，即qp，故pq，所以p是q的充要条件由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要条件反思与感悟判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的跟踪训练1(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()Aab0Bab0Ca2b20Da2b20考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断答案D解析a2b20，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.(2)“x1”是“(x2)1x23(x2)0，(x2)1x1，故“x1”是“(x2)0(a0)的解集p：xA，q：xB，若p是綈q的充分不必要条件，求a的取值范围考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围解由x28x200，解得2x10，Ax|2x10，由(x1a)(x1a)0，得xa1，Bx|x1a，则p：2x10，綈q：1ax1a，p是綈q的充分不必要条件，或解得a9，a的取值范围是9，)引申探究本例中若p，q不变，是否存在实数a，使p是綈q的充要条件，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解p：2x10，綈q：1ax1a，若p是綈q的充要条件，则无解故不存在实数a使得p是q的充要条件反思与感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解跟踪训练2若“x21”是“x1，所以x1.又因为“x21”是“xa”的必要不充分条件，所以x1但x21xa.如图所示：所以a1，所以a的最大值为1.类型三充要条件的探求与证明例3(1)“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_考点充要条件的概念及判断题点探求充要条件答案a1解析函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以有44a0，解得a1.反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根，即函数没有零点故“函数yx22xa没有零点”的充要条件是a1.(2)求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性：ac0，方程一定有两个不等实根，设两实根为x1，x2，则x1x20，方程的两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性：方程ax2bxc0有一正根和一负根，设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0.综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是acy，求证：0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明(1)必要性：由，得0，即y，得yx0.(2)充分性：由xy0及xy，得，即.综上所述，0.1“x22017”是“x22016”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案A2a0，b0的一个必要条件为()Aab0C.1D.1考点充要条件的判断题点识别四种条件答案A解析ab0a0，b0，而a0，b0ablgy是的充要条件考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断答案D解析选项A中，由B60AC120AC2B角A，B，C成等差数列；而角A，B，C成等差数列AC2B，又ABC180，所以3B180，所以B60，故命题为真选项B中，abab0，即2x20，得x1，故B正确选项C中，在ABC中，ABsinAsinB，反之，若sinAsinB，因为A与B不可能互补(因为三角形的三个内角和为180)，所以只有AB.故AB是sinAsinB的充要条件选项D中，取x2，y0，有，但lgy却无意义，所以是假命题4直线xym0与圆(x1)2(y1)22相切的充要条件是_考点充要条件的概念及判断题点探求充要条件答案m4或m0解析圆心(1,1)到直线xym0的距离为，即，即|2m|2，解得m4或m0.5已知p：3xm0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围解由3xm0，得x0，得x3，q：Bx|x3pq而qp，AB，1，m3，即m的取值范围是3，)1充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.一、选择题1“x，y均为奇数”是“xy为偶数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案A解析当x，y均为奇数时，一定可以得到xy为偶数；但当xy为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数2设p：x3，q：1x3，则p是q成立的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案C解析x31x3，但1x3x1”是“an为递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断答案D解析当数列an的首项a11，则数列an是递减数列；当数列an的首项a10时，要使数列an为递增数列，则0q1”是“数列an为递增数列”的既不充分也不必要条件故选D.4在下列三个结论中，正确的有()x24是x34x2或x2，x38x2，由x2或x2或x2x4是x30D2x1考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案B解析|x|xx0，选项A是充要条件，选项C，D均不符合题意对于选项B，由x2x得x(x1)0，x0或x1.故选项B是使|x|x成立的必要不充分条件8设条件p：|x2|3，条件q：0xa，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是()A(0,5 B(0,5)C5，) D(5，)考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围答案A解析由|x2|3，得3x23，即1x5，即p：1x5，因为q：0xa，a为正常数，所以要使p是q的必要不充分条件，则0b”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“cosb”是“3a3b”的充要条件，故错误；2，则cos2cos，coscos；coscos，cos，“”是“coscos”的既不充分也不必要条件，故错误；“a0”是“函数f(x)x3ax2(xR)为奇函数”的充要条件，正确12关于x的方程m2x2(m1)x20的实数根的总和为2的充要条件是_考点充要条件的概念及判断题点探求充要条件答案m0解析当m0时，原方程即为x2，满足条件；当m0时，有2，解得m1或m，但(m1)28m2，当m1及m时，均使0，故充要条件是m0.三、解答题13已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的一个必要不充分条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围解由MPx|5x8知，a8.(1)MPx|5x8的充要条件是3a5.(2)MPx|5x8的充分不必要条件，显然，a在3,5中任取一个值都可以(3)若a5，显然MP5，3)(5,8是MPx|5x8的必要不充分条件故a3时为必要不充分条件四、探究与拓展14已知p：0，q：4x2xm0，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A6，) B(，2C2，) D(2，)考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案A解析由0，得0x1，即p：0x1.由4x2xm0，得4x2xm.因为4x2x(2x)22x2，要使p是q的充分条件，则当0x1时，m大于等于4x2x的最大值，又当x1时，4x