高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学案（含解析）新人教A版.docx

2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一双曲线的定义思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案如图，曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数(小于|F1F2|)；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数(小于|F1F2|)，可得到另一条曲线梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距(2)关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线知识点二双曲线的标准方程思考双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，即c2a2b2，其中ca，cb，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2a2c2，即a2b2c2，其中ab0，ac，c与b大小不确定梳理(1)双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2b2c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0，b0且ab.()3双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.()类型一双曲线的标准方程命题角度1双曲线标准方程的认识例1方程1表示双曲线，则m的取值范围是()A(2，1) B(2，)C(，1) D(，2)(1，)考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案A解析由题意可知，(2m)(m1)0，2m1.反思与感悟将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为1，则当mn1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在x轴上的双曲线考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案C解析原方程化为1，k1，k210，k10.方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线命题角度2求双曲线标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(6，3)考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b20)，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，解得所求双曲线的标准方程为1.反思与感悟求双曲线方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)的形式求解跟踪训练2根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中00，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.类型二双曲线的定义及应用命题角度1双曲线中的焦点三角形例3(1)如图，已知双曲线的方程为1(a0，b0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|m，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为_考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案4a2m解析由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)设P为双曲线x21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，则PF1F2的面积为_考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案12解析由已知得2a2，又由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2，因为|PF1|PF2|32，所以|PF1|6，|PF2|4.又|F1F2|2c2，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF2为直角三角形|PF1|PF2|6412.引申探究本例(2)中，若将“|PF1|PF2|32”改为“|PF1|PF2|24”，求PF1F2的面积解由双曲线方程为x21，可知a1，b2，c.因为|PF1|PF2|24，则cosF1PF20，所以PF1F2为直角三角形所以|PF1|PF2|12.反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|之间的关系跟踪训练3已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A1B4C6D8考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案B解析设|PF1|m，|PF2|n，由余弦定理得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2，即m2n2mn8，(mn)2mn8，mn4，即|PF1|PF2|4.命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例4已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案x21(x1)解析如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件 |MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|, 因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且26|C1C2|.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a1，c3，则b28，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x21 (x1)反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上跟踪训练4已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x) B.1C.1D.1考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案A解析设动圆M的半径为r，则由已知得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，所以|C1C2|8，所以2|C1C2|，根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支，因为a，c4，所以b2c2a214，所以点M的轨迹方程是1(x).1已知F1(3,3)，F2(3,3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C不存在D一条射线考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案B解析因为|PF1|PF2|4，且4|F1F2|，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支2若kR，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是()A3k2Bk3Ck2Dk2考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案A解析由题意知，k30且k20，3k0,0a20，b0)，则有a2b2c28.因为过(3，)点，所以1，解得a23，b25.故所求双曲线的标准方程为1.1双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.一、选择题1已知双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D(，0)考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案C解析将双曲线方程化成标准方程为1，所以a21，b2，所以c，故右焦点坐标为.2在方程mx2my2n中，若mn0，则方程表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在y轴上的双曲线考点双曲线的标准方程题点已知方程判断曲线的类型答案D解析将方程化为1，由mn0，所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线3双曲线1的两个焦点为F1，F2，若双曲线上一点P到F1的距离为12，则P到F2的距离为()A17B22C2或22D7或17考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案C解析由双曲线的定义，得|PF1|PF2|10，又|PF1|12，则P到F2的距离为2或22，经检验，均符合题意故选C.4过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是()A.y21B.x21Cx21D.y21或x21考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程答案D解析，b22a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为1，代入(1,1)点，得a2.此时双曲线标准方程为y21.同理求得焦点在y轴上时，双曲线标准方程为x21.5双曲线8kx2ky28的一个焦点坐标为(0,3)，则k的值是()A1B1C.D考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案B解析原方程可化为1，由焦点坐标是(0,3)可知c3，且焦点在y轴上，k0，b0)，则a2b25.线段PF1的中点坐标为(0,2)，点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得1.由解得a21，b24，双曲线的方程为x21.二、填空题9若点P到点(0，3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为_考点双曲线的标准方程的求法题点定义法求双曲线的标准方程答案y21(y1)解析由题意结合双曲线的定义，可知点P的轨迹为双曲线上支，且c3,2a2，a1，b2918，故点P的轨迹方程为y21(y1)10双曲线1(0m5)的焦距为_考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案16解析在双曲线1(0m5)中，a264m2，b2m2.a2b264，可得c8,2c16.11经过点P(3,2)和Q(6，7)的双曲线的标准方程是_考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程答案1解析设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以x1，x21，所以|PF2|PF1|112.三、解答题13.如图，已知定圆F1：x2y210x240，定圆F2：x2y210x90，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的曲线方程考点双曲线的定义题点由双曲线的定义确定轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11.圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|3.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a，c5.b2.双曲线方程为1.四、探究与拓展14在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线1的左支上，则_.考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案解析设A，B，C的对边分别为a，b，c.由双曲线定义，得ac10，由正弦定理，得.15已知双曲线过