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第0章 场论（ FIELD ）,目的：场论是描述物理流动的数学工具。 内容：介绍力学中常用的场论知识。 场： 具有物理量的空间。 流场：充满流体物理量的空间。,物理量作为空间点位置M和时间t 的函数，t 作为参变量。,流体力学中常见的物理量,density,temperature,pressure,stress,velocity,strain,向量场（函数）,标量场（函数）,张量场（函数）,field 1:1 func.,space point,向量 ( vector ) ：3个元素表示的既有大小又有方向的量,0.1 标量、向量、张量,（1）概念 标量（scalar）：1个元素表示的只有大小没有方向的量,二阶张量（tensor of 2nd order）：9个元素表示的量,n阶张量（tensor of nth order）：3n个元素表示的量,（2）场的几何描述,标量场的等值线（面）： 时刻场 中数值相同的点组成的曲面。,等值线,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？,表示标量在场中的分布。,向量场的向量线： 向量线上每一点处曲线与对应于该点的向量 相切。,描述向量在场中的分布。,向量线连续分布，一般互不相交。,l,(1) Einstein求和符号：式子中成对出现的哑指标。,0.2向量及张量的基本运算,0.2.1 向量运算符号规定,式中i, j 是自由指标，表示坐标方向。可写作:,任意两个正交坐标轴单位向量的点积,(2) Kronecker 符号：, 参与表达式运算的结果： 冲掉一个自由指标,置换法则： 3个自由指标顺时针排列为正，否则为负。 任意2个自由指标对换后差一个负号，如,式中i,j是自由指标， 称为置换符号。,(3) Ricci（置换）符号：任意两个正交单位向量的叉积,和符号之间有关系,两个自由指标相同，如,自由指标偶次置换，如,自由指标奇次置换，如,0.2.2 向量运算的常用公式,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,0.2.3 向量分量的坐标转换,讨论新、老坐标轴中单位向量及向量分量之间的转换关系。,(i, j=1,2,3),或,表0.1 坐标轴间方向余弦,又,点乘,得,单位向量之间的转换关系：,即可得如下六个关系式,或,向量分量之间的转换关系：,表0.1 坐标轴间方向余弦,a与坐标系无关，有,0.2.4二阶张量及其基本运算,二阶张量及其基本运算规则,二阶张量的坐标变换,(,),(,),eg.,方向导数：,l 方向单位向量,03 标量场的方向导数和梯度,剃度表示物理量在一点邻域内的变化。,（1）梯度的定义,Hamilton算子（ Nabla）,记,则,当 ,即 与 方向一致时, 为最大。,注：算子 具有微分和向量双重运算性质，适用于任意正交坐标系，在不同坐标系中表达形式不同。推导或证明公式时用直角坐标系简便。,梯度(Gradient),高度场的梯度,与过该点的等位线垂直；,数值等于该点的最大方向导数；, 梯度 垂直于标量的等值面，且指向增大的方向。,（3）梯度的应用（性质） 梯度 在 方向的投影等于标量在该方向的方向导数,计算增量,计算曲面法线,由梯度可计算物理量沿l方向经过dl距离的增量。,（ 为常数）,（ 为常数）,（5）向量的梯度 是一个二阶张量,（4）梯度运算的基本公式,Example 0.2 Given: Prove:,Example 0.1：求曲面 的法线单位向量,Solution:,Solution: （书p4）,称为向量a通过曲面S的通量。若a为流速v，Q流量。,04 向量场的通量和散度,通量：在向量场a中曲面S的法向量为n，则,图0.4.1 通量,物理量的散度可用来判别向量场是否有源。,若向量场中a=0，称之为有源场，称为源（强）密度；若向量场中处处a=0，称之为无源场。,（ 为常数）,散度的基本运算公式：,（2),( 为标量）,（3),05向量场的环量和旋度,物理量的旋度可用来判别向量场是否有旋。,无源无旋的向量场是调和场,（Laplace operator）,（Laplace方程）,满足Laplace方程,且具有二阶连续偏导数的函数称为调和函数，这时向量场a称为调和场。,Gauss公式Jonhan Gauss(1777-1855),n为体积V 闭边界面S 的单位外法向量，若物理量a或在V+S上一阶偏导数连续，则有,散度定理,源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，体积分后，为穿出闭合面S的通量,06 广义Gauss公式及Stokes公式,Stokes公式 Sir George Stokes(1819-1903）,若l为曲面S 的边界线，且可缩，向量a在S+l上一阶偏导数连续，则,0.7 Hamilton算子、梯度、散度、旋度和调和量 在正交曲线坐标系中的表示式,向量： （正交曲线坐标系）,0.7.2