高中数学综合质量评估（含解析）新人教A版选修.docx

综合质量评估第一至第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x3”是“不等式x2-2x0”的()A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x2-2x0得x2,故“x3”是“不等式x2-2x0”的充分不必要条件.2.(2016临沂高二检测)命题:“xR,都有x2-x+10”的否定是()A.xR,都有x2-x+10B.x0R,使x02-x0+10C.x0R,使x02-x0+10D.x0R,使x2-x0+10【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f(x)的图象可能是()【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x0,当x0时,函数单调递减,故f(x)0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于()A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3xay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,则|PF2|=|PF1|+4=7.7.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,则双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为()A.54B.52C.23D.54【解析】选B.由题意知=32,得a2=4b2,又ab0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e=4b2+b22b=52.【补偿训练】设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.52D.5【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则=k2-4=0,解得k=2,即=2,故双曲线的离心率e=.8.(2016青岛高二检测)设函数f(x)=12x2-9lnx在区间a-1,a+1上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,2B.4,+)C.(-,2D.(0,3【解析】选A.f(x)=x-=(x0),令f(x)0得0x3.所以f(x)在(0,3上单调递减,所以解得10,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()A.x236-y2108=1B.x29-y227=1C.x2108-y236=1D.x227-y29=1【解析】选B.因为双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.(2016大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则p的值为()A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p0)的准线相切,所以OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.(2015济南二模)已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1(-1,0),x2(0,1),则a+2b+4a+2的取值范围是()A.(0,2)B.(1,3)C.0,3D.1,3【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,所以f(x)=x2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,所以f(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,f(0)0,f(1)0,即在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得01,则10)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A.3-23,+)B.3+23,+)C.D.【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为-y2=1,设点P(x0,y0)(x0),则有x023-=1(x0),解得=x023-1(x0),因为=(x0+2,y0),=(x0,y0),所以=x0(x0+2)+=x0(x0+2)+x023-1=+2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-,因为x0,所以当x0=时,取得最小值3+2-1=3+2,故的取值范围是3+2,+).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e)处的切线方程是.【解析】因为f(x)=,所以f(e)=,又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x.答案:y=x14.若命题“x0R,ax02+x0+10”是假命题,则a的取值范围是.【解析】因为x0R,a+x0+10,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a=,b=.【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=x,焦点(c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5.由联立解得a=1,b=2.答案:12三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016西安高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,若p真,由于关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故=4a2-160,所以-2a1,所以a1.又由于p或q为真,p且q为假,所以p和q一真一假,(1)若p真q假,则所以1a0,解得a3.q:B=a|a3.因为“pq”为真,所以AB=a|a1或a3.所以所求实数a的取值范围为(-,1(3,+).18.(12分)(2016衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-12x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x-1,2时,f(x)c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f(x)=0有实数解.即方程3x2-x+b=0有实数解.所以=1-12b0,解得b.(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,设另一个根为x0,则解得所以f(x)=x3-x2-2x+c,f(x)=3x2-x-2.当x时,f(x)0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x-1,2时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.因为当x-1,2时,f(x)2+c,解得c2,所以c的取值范围是(-,-1)(2,+).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-3,0),F2(3,0),离心率e=32.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),则c=,=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则=64m2-80(m2-1)0,得m20).(1)当f(x)的极小值为-73,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间1,2上为增函数,在区间6,+)上为减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)f(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),令f(x)0,得ax3a,令f(x)0,得x3a或xa,所以f(x)在(-,a上是减函数,在a,3a上是增函数,在3a,+)上是减函数,所以f(x)在x=a处取得极小值,在x=3a处取得极大值.由已知有即解得所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+2x2-3x-1.(2)由(1)知f(x)在(-,a上是减函数,在a,3a上是增函数,在3a,+)上是减函数,所以要使f(x)在区间1,2上为增函数,在区间6,+)上是减函数,则必须有解得实数a的取值范围为.21.(12分)(2016南阳高二检测)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若=1,求直线l的斜率.(2)求ATF的最大值.【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),当直线l与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时=(2,2)(2,-2)=0,这与=1矛盾.故直线l与x轴不垂直.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-1).将代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1=-4,所以=(x1+1,y1)(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1+1-4=1.解得k=2.(2)因为y10,所以tanATF=1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-13x3+a2x2-2x(aR).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x1,+)都有f(x)2(a-1)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1x0,函数f(x)单调递增;当x2时,f(x)0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-,1)和(2,+).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f(x)=-x2+ax