北邮概率论讲议第8讲.ppt

2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,1,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,2,1、关于事件的条件数学期望,定义3.5.1 设是概率空间(，F，P)上的随机变量，且E()存在，B F ，P(B)0， (，F，PB)为(，F，P)在事件B下的条件概率空间，称 为在给定事件B下的条件数学期望，记为E(|B)。,定理3.5.1 若在上关于P的数学期望E()存在，P(B) 0，则E(|B)存在，且,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,3,证明：（1）当为示性函数时，不妨假设,由定义3.5.3，有,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,4,（2）当为非负简单函数时，由可测函数积分的性质，即可证明。 （3）当为非负随机变量时，利用单调收敛定理即可得证。 （4）当为一般随机变量时，显然也成立。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,5,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,6,则：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,7,是一A-可测函数。 可以从以下几个方面来理解A-可测函数的意义:,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,8,2、随机变量关于随机变量=x的条件数学期望 前面给出了在=x条件下的条件分布函数F|(y|x)，我们将F|(y|x)简记为F(y|x)。考虑积分 。由于 是E()的积分表达式，那么将 理解为=x的条件下的条件数学期望是合理的，记为,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,9,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,10,二、关于给定-代数下的条件数学期望（不讲）,为了帮助大家充分理解条件数学期望的概念，下面给出随机变量的条件数学期望例。,仅对连续型随机变量的情况给予说明：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,11,例1：随机变量X、Y的取值为1,2，n，其概率分布为：,求E(Y|i)，E(X|j)。,解：首先求出条件分布律为：,那么：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,12,例2：设二维正态分布服从 N(0,1;0,1;r),试求f(y|x), f(x|y), E(Y|x), E(X|y)。 解：已知,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,13,同理可得：,而：,同理可得：,从此例可以看出，E(Y|x)，E(X|y)分别是x和y的函数。 而E(Y|X)=rX； E(X|y)=rY。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,14,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,15,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,16,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,17,第六节 几个重要的不等式,一、Chebyshev不等式,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,18,几个重要的不等式,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,19,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,20,三、Cr-不等式,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,21,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,22,解,例,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,23,解,例,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,24,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,25,解,例,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,26,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,27,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,28,第四章 随机变量的特征函数,为什么要引入特征函数？,积分的逆运算是微分（或求导），而求导运算要比积分运算简单得多，因此是否可将求数学期望的积分问题简化为求导问题？,用分布函数求独立随机变量和的分布需要用卷积，是否可将卷积运算简化为乘积运算？,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,29,第一节 随机变量的特征函数,一、随机变量的特征函数,定义4.1.1,知特征函数的定义有意义。,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,30,若为离散型随机变量，其分布律为：,若为连续型随机变量，分布函数为f(x)，则的特征函数为：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,31,例1,例2,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,32,例3,例4,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,33,例5,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,34,另解：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,35,二、特征函数的性质,（1）,证明：,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,36,（2）,2019/7/16,北京邮电大学电子工程学院,37,（3）,利用上述性质，可求正态分布的特征函数如下