行波法与积分变换法.ppt

第三章 行波法与积分变换法,行波法(求解无界区域内波动方程定解问题) 积分变换法 (无界或有界区域),3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,考虑代换,利用复合函数求导法则得,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,同理有:,代入方程，得到,在上式中对 积分, 得,( 是 的任意可微函数),3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,再将此式对 积分,其中 都是任意二次连续可微函数.,利用初始条件，确定两个函数的具体形式。,由第二式得,.,其中,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,由, ,解得,代入通解表达式，得,达朗贝尔(DAlembert)公式.,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,图 3-1,t=0,t=1/2,t=2,考虑 的物理意义,随着时间t 的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动.,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,的积分曲线, 这个常微分方程称为它的特征方程 .,一维波动方程,的两族特征线,恰好是常微分方程,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,一般的二阶线性偏微分方程,它的特征方程为,(*),这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲线.,记,称其为二阶线性偏微分方程的判别式,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,可以证明，当 时，有两条相异的实特征线 因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特征线做自变量替换 总可以把双曲型方程化为,从而得到方程的通解,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,例 求下面问题的解:,(3.1),解: 特征方程,两族积分曲线为,做特征变换,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,代入方程化简得:,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,它的通解为,其中 , 是两个二次连续可微函数.,于是原方程的通解为,代入初始条件 , ，得,第二式的两端得关于 积分得,解得,所求问题的解为,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,解 特征方程为,特征曲线为,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,所以，做变换,则原方程可以变为,其中 , 是任意的二次连续可微函数.,于是，方程的通解为,3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式,3.2 三维波动方程的泊松公式,研究波在空间传播问题.,三维波动方程的初值问题,3.2 三维波动方程的泊松公式,一、球对称情形,球坐标系,3.2 三维波动方程的泊松公式,若 仅是 r 的函数, 则 是r 和 t 的函数, 此时称定解问题是球对称的。,球对称波动方程,进一步有,3.2 三维波动方程的泊松公式,对球对称问题,球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为,3.2 三维波动方程的泊松公式,这个问题 我熟悉！,由达朗贝尔公式,3.2 三维波动方程的泊松公式,二. 一般情况,令,表示 在球面 上的平均值。,其中M=M (x,y,z), 是球面 上的点,3.2 三维波动方程的泊松公式,二. 一般情况,令,3.2 三维波动方程的泊松公式,表示以 M 为中心的单位球面，,表示 上的面积元素，,表示单位球面上的面积元素，,即,而,3.2 三维波动方程的泊松公式,以下推导 所满足方程及初始条件。,3.2 三维波动方程的泊松公式,进一步有：,两边关于 r 求导，得,得,由,3.2 三维波动方程的泊松公式,即,可得：,由,3.2 三维波动方程的泊松公式,由初值条件和 的表达式，有：,其中 分别是函数 在 上的球平均值。,满足如下定解问题：,3.2 三维波动方程的泊松公式,3.2 三维波动方程的泊松公式,所以,解方程组得,3.2 三维波动方程的泊松公式,将 延拓到r0的范围内。并且,同理 也是偶函数,利用,3.2 三维波动方程的泊松公式,所以,3.2 三维波动方程的泊松公式,由于 ，只考虑 的情形,利用洛必达法则,3.2 三维波动方程的泊松公式,即,简记成,3.2 三维波动方程的泊松公式,三维波动方程的泊松公式,三、泊松公式的物理意义,从泊松公式出发，解释波在三维空间的传播现象.,设 且，,1. 在任一固定点 的振动情况,设 ， 由 沿以 M 为中心，at 为半径的球面的曲面 积分所决定。,3.2 三维波动方程的泊松公式,M 点处于静止状态，说明 T 的振动尚未达到 M 点。, 当 时， 不为空集，,所以M点处于振动状态, 表明 T 的振动已传到 M 点。, 当 时， 为空集，说明振动已 传过 M 点， M 点仍回复到静止状态。,3.2 三维波动方程的泊松公式,2. 在某固定时刻 ，初始时刻的振动所传播的范围,设 ，T 是半径为 R 的球体。由Poisson公式，只有与 M 相距为 的点上的初始扰动能够影响 的值，故 P 点的初始扰动，在时刻 只影响到以 P 为球心，以 为半径的球面,当 P 在 T 内移动时，球面族的包络面所围成的区域即为 T 内各点的振动在 时刻所传播的区域，称为 T 在时刻 的影响区域。,3.2 三维波动方程的泊松公式,总之，三维空间中有限区域 T上的初始振动，有着清晰的前阵面和后阵面，对空间的任一点，振动传过后，仍回复到平衡状态，这种只在有限时间内引起振动的现象称为 Huygens 原 理。,在 足够大时，包络面以T 的心o(T)为心，分别以 和 为半径的球面所夹部分。故 时刻的影响区域为 的球壳，球 面 是振动到来的前峰，称为波的 前 阵 面,球 面 是振动传过后的后沿，称为波的后阵面。,3.2 三维波动方程的泊松公式,3.2 三维波动方程的泊松公式,解,例. 设已知三维波动问题中的初位移，初速度分别为： , 求解相应的Cauchy问题。,3.2 三维波动方程的泊松公式,三. 降维法及二维波动方程,考虑二维波动方程的初值问题,设解为 ,令 ，则,3.2 三维波动方程的泊松公式,由泊松公式,球面 在平面 上投影 为,设其上面积微元为 ，则由投影关系有：,其中 v 表示 dS 的单位法向量与 之夹角，,3.2 三维波动方程的泊松公式,又上、下两球面的投影有对称关系，故,柱面波,3.3 积分变换法,3.3 积分变换法,常见的两种积分变换 -傅立叶变换 -拉普拉斯变换.,如果 满足上面的条件，我们可以定义傅立叶逆变换为:,如果函数 在 上绝对可积，它的傅立叶变换定义如下,有时把 记为 。,一. 傅立叶变换,反演公式,3.3 积分变换法,傅立叶变换的性质:,1） 线性性质 设 f, g 是绝对可积函数， 是任 意复常数，则,2） 微分性质 设 f , 绝对可积函数，则,3）乘多项式 设 f , x f 绝对可积，则,3.3 积分变换法,4）伸缩性质 设 f (x) 绝对可积，则,6） 卷积性质 设f , g 是绝对可积函数， 令,则,5）平移性质 设 f (x) 绝对可积，则,3.3 积分变换法,例 用积分变换法解方程：,解：作关于 x 的傅立叶变换,方程可变为,设,3.3 积分变换法,可解得,由于,即,则,3.3 积分变换法,从而方程的解,3.3 积分变换法,例 用积分变换法解方程,解： 作关于 的傅立叶变换。设,方程变为,3.3 积分变换法,用常数变易法可解得,而,则,3.3 积分变换法,利用反演公式有,3.3 积分变换法,例 用积分变换法求解初值问题：,解：作关于 x 的傅立叶变换。设,3.3 积分变换法,于是原方程变为,满足初始条件,3.3 积分变换法,齐次方程的解,设非齐次方程的解为,3.3 积分变换法,令,则,3.3 积分变换法,代入方程,得,3.3 积分变换法,积分,3.3 积分变换法,方程通解为,由初始条件,取傅立叶逆变换，得,其中,的傅立叶变换.,所以 取傅立叶逆变换，得,3.3 积分变换法,傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的有效方法,但 1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积,大部分函数不能作傅立叶变换,2.傅立叶变换要求函数在整个数轴上有定义,研究混合问题时失效.,3.3 积分变换法,二. 拉普拉斯变换,定义: f (t)定义在 上，若其满足下列条件 f (t)分段光滑； 存在常数 M 和 使得 则称f (t)为初始函数, 称为f (t)的增长指数.,反例,3.3 积分变换法,定理: 设f (t)是一以 为增长指数的初始函数, 则经变换 得到的函数F(p)是 上的解析函数.,上述变换称为拉普拉斯变换,3.3 积分变换法,例,3.3 积分变换法,反演公式：在 f (t) 的每一个连续点均有,其中，,3.3 积分变换法,基本性质:,1） 线性性质 设 f, g 的拉普拉斯变换分别 为L( f ), L(g ), 是任意复常数，则,2） 微分性质 假设 , 则,3.3 积分变换法,6） 卷积性质,定义,4）延迟性质,5）伸缩性质,则,3）积分性质,3.3 积分变换法,例 设 求解常微分方程的初值问题,解 对 进行拉普拉斯变换, 设 , 则,3.3 积分变换法,于是原方程变为,由上式得:,对 进行拉普拉斯逆变换, 得,3.3 积分变换法,解 问题归结为求解下列定解问题:,例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。,3.3 积分变换法,对 t 进行拉普拉斯变换,怎么变换？,为什么？,知道 的值了,方程通解为,表示温度，当 时， 一定有界，所以 亦有界，从而 .,对 t 进行拉普拉斯变换，设,于是原问题变为,3.3 积分变换法,由边值条件可知 ， 即,对 p 进行拉普拉斯逆变换，有,3.3 积分变换法,于是,查表得,而,易证,3.3 积分变换法,所以,于是,3.3 积分变换法,例 设 求解下面定解问题,解 对 进行拉普拉斯变换,则原方程 变为,即,3.3 积分变换法,由条件 得,解得,对 取拉普拉斯逆变换，得,3.3 积分变换法,数学物理方程+定解条件,解,常微分方程+定解条件,解,积分变换,逆变换,3.3 积分变换法,如何使用积分变换法求解定解问题：,选取恰当的积分变