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第7章 一阶电路,7.1 动态电路概述,7.2 电路中起始条件的确定,7.3 一阶电路的零输入响应,本章重点,7.7 脉冲序列作用下的RC电路,7.4 一阶电路的零状态响应,7.5 一阶电路的全响应,7.6 求解一阶电路的三要素法, 稳态分量 暂态分量, 本章重点, 零输入响应, 初始值的确定, 零状态响应, 全响应,返回目录,S未动作前（稳态）,S接通电源后很长时间（新稳态）,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= US,一、电路的过渡过程,7.1 动态电路概述,动态电路（dynamic circuit）: 用微分方程描述的电路,初始状态,过渡状态,新稳态,?,过渡过程（transient process）： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。,过渡状态（瞬态、暂态）,二、过渡过程产生的原因,能量不能跃变,1. 电路内部含有储能元件 L ，M ， C。,2. 电路结构发生变化。,三、分析方法,四、一阶电路（First-order Circuit）,由一个独立储能元件组成的电路, 描述电路的方程是一阶微分方程。,返回目录,一、 t = 0+与 t = 0-的概念,换路在 t=0 时刻进行,0- t = 0 的前一瞬间,0+ t = 0 的后一瞬间,7.2 电路中起始条件的确定,初始条件（initial condition）为 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值。,0-,0+,二、换路定则（switching law）,q=C uC,当t = 0+时,i()为有限值时,q (0+) = q (0- )+,1. 电容,结论 ： 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,电荷守恒,当u为有限值时,L (0+)= L (0-),iL(0+)= iL(0-),磁链守恒,2. 电感,结论： 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,小结： 换路定则,三、电路起始条件（initial condition）的确定,由换路定则,uC (0+) = uC (0-),画0+电路，求iC(0+),求 uC (0+) 和 iC (0+),t = 0时打开开关S,？,解,由换路前电路得,t = 0时闭合开关S，求uL(0+)。,iL(0+)= iL(0),= 2A,需由0+电路求uL(0+)。 0+电路为,解,求起始值的一般步骤:,（1）由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。,（2） 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。,（3） 画0+等值电路。,（4） 由0+电路求所需各变量的0+值。,b. t=0+时刻电容电压（电感电流）用电压源（电流源）替代。方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。,a. 换路后的电路,c. 独立源取t=0+时刻值。,解,由换路定则得,对开关S打开前的电路，用相量法计算：,计算t = 0时iL的值,由 0+电路求uR(0+)和uL(0+)。,返回目录,7.3 一阶电路的零输入响应,零输入响应（Zero-input response）：激励（电源）为零，由初始储能引起的响应。,一、 RC放电电路,解,uC = uR= Ri,设,一阶齐次常微分方程,特征根（characteristic root）为,特征方程（characteristic equation）为,则,起始值 uC (0+) = uC(0-)=U0,A=U0,由起始值定待定系数,令 =RC , 称为一阶电路的时间常数（time constant）。,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。, = RC,定性讨论（设电压初值一定）：,R 大（ C不变） i = u/R 放电电流小,C 大（R不变） w = 0.5Cu2 储能大,工程上认为，经过 3 5 的时间过渡过程结束。,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0, ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,t1时刻曲线的斜率等于,按此速率，经过 秒后uC减为零。,次切距的长度 t2-t1 = ,分析：,能量关系:,设uC(0+)=U0,电容放出能量,电阻吸收能量,二、RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根 p =,由初始值 i(0+)= I0 定待定系数A,A= i(0+)= I0,i (0+) = i (0-) =,令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数,设i(0)一定： L大 起始能量大 R小 放电过程消耗能量小,工程上认为，经过 3 5 的时间过渡过程结束。,定性讨论R、L对过渡过程的影响。,iL (0+) = iL(0) = 1 A,分析,改进措施,4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比。,1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的 响应，都是一个指数衰减函数。,2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC RL电路 = L/R,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,小结,返回目录,零状态响应（zero-state response）：储能元件初始能量为零，在激励（电源）作用下产生的响应。,一、直流激励下的零状态响应,列方程,7.4 一阶电路的零状态响应,一阶非齐次线性常微分方程 。,解答形式为：,通解,特解,1. RC电路的零状态响应,与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= - US,由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,齐次方程 的解,：特解（强制分量）,= US,：通解（自由分量，暂态分量）,全解,强制分量(稳态),自由分量(暂态),能量关系：,电源提供能量一部分消耗在电阻上，,一部分储存在电容中，且wC = wR,充电效率为50%,开关S 在t=0时闭合， 求uC 的零状态响应。,解法1：,整理得,非齐次线性常微分方程,通解,特解,解答形式为,特征根 p= 1,特征方程,特解(稳态分量),由稳态电路得,解法2： （先对开关左边电路进行戴维南等效）,2. RL电路的零状态响应,解,二、正弦电源激励下的零状态响应,强制分量（稳态分量）,自由分量（暂态分量）,接入相位角,一阶齐次常微分方程,解答形式为,用相量法计算稳态分量 i,定系数,解答为,讨论几种情况：,（1）u =0 即合闸时 u = ,合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。,（2） u- = /2 即 u = /2,A = 0 无暂态分量,当 u= +/2时,波形为,小结：,1. 一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储能时 由输入激励引起的响应。,2. 时间常数与激励源无关。,3. 线性一阶电路的零状态响应与激励成正比。,返回目录,7.5 一阶电路的全响应,全响应（complete response）：非零起始状态的电路受到外加 激励所引起的响应。,非齐次线性常微分方程, = RC,暂态解,解答形式为,稳态解,强制分量(稳态分量),自由分量(暂态分量),（1） 全响应 = 强制分量（稳态分量）+自由分量（暂态分量）,uC (0+) = A+US=U0,A = U0 US,由起始值定A：,一、一阶电路的全响应及其两种分解方式,（2） 全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,可表示为,例 如图所示电路中，,求iL, uL的全响应、零输入响应、零状态响应。,解 换路后可利用叠加定理将iL, uL的求解分解为下面三个电路。,各响应分量为,零输入响应为,零状态响应为,零输入响应,零状态响应,全响应为,返回目录,7.6 求解一阶电路的三要素法,线性非时变一阶电路的时域数学描述是一阶微分方程 。,令 t = 0+,对于换路后有稳态的情况，一阶电路响应的一般形式为,例1,求 的简便方法：,例2,（1） 独立电源置零。,（2） 从L或 C两端求入端等效电阻，则,独立电源置零后电路,则,例1 已知： t=0时合开关S，求 换路后的uC(t) 。,解,已知：电感无初始储能 t = 0 时合 S1 , t =0.2s时合S2 求两次换路后的电感电流i(t)。,解 0 t 0.2s,t 0.2s,例3 求图示电路中电流 iC(t)。,0 t 0.5s,t = 0.5s 时第2次换路,?,解,用三要素法求iC,要先求出uC(0.5+)，画出0.5+ 电路，再求iC(0.5+),0 t 0.5s,t 0.5s,返回目录,7.7 脉冲序列作用下的RC电路,相当于多次换路：,充电电路,0T : 电容充电；,T2T : 电容放电；,一、 T,过渡过程在半个周期 (T )内结束,由三要素法得,变化曲线为,（1） uC的变化规律,0 t T,T t 2T,（2）uR的变化规律,三要素为,变化曲线为,63,23.3,71.6,26.5,72.8,t = T, uC =100(1-0.37)=63V,t =2T, uC= 0.3763 = 23.3V,t= 3T, uC=23.3+0.63 (100-23.3) = 71.6V,t =4T, uC=0.3771.6=26.5V,开始时, 充电幅值 放电