概率第十六讲4.3-4.5.ppt

1二维正态分布,3中心极限定理,2正态随机变量的线性函数的分布,第十六讲 二维正态分布及中心极限定理,4. 小结,一、二维正态分布(第三节),若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,但对下述情形，独立与不相关等价,前面，我们已经看到：,解：,例1,二、正态随机变量的线性函数的分布,？,N( , ),？,N( , ),解：,例2 X与Y相互独立，XN(0, 1), YN(1, 1).则,X+YN( , ),XYN( , ),A. P(X+Y0)=0.5,B. P(X+Y1)=0.5,C. P(XY0)=0.5,D. P(XY1)=0.5,1,2,1,2,概率为0.5，对称轴的左边或右边.,解：,例3 X与Y相互独立，XN(3, 1), YN(2, 1). 若Z=X2Y+7, 求Z的概率密度fZ(z).,因为X与Y独立，XN(3, 1), YN(2, 1),所以Z=X2Y+7N( , ),其中=E(Z)=E(X2Y+7),=E(X)2E(Y)+7,=322+7=0,0,其中2=D(Z)=D(X2Y+7),=D(X)+4D(Y)+0,=1+41+0=5,5,解：,例4 X与Y相互独立，XN(1, 2), YN(1, 2). 求|XY|的数学期望，方差.,因为X与Y独立，且都服从正态分布,所以 ZXYN( , ),0,4,解：,例5 设活塞的直径(单位cm)XN(22.40, 0.032),气缸的直径YN(22.50, 0.042), X,Y相互独立. 任取一只活塞,任取一只气缸,求活塞能装入气缸的概率.,所求概率为P(XY),=P(XY0),因为XN(22.40, 0.032),YN(22.50, 0.042),所以XYN(0.10, 0.052),P(XY0),=0.9772.,三、中心极限定理,独立随机变量的和的分布趋于正态分布.,有关论证随机变量的和的极限分布的定理,称为中心极限定理.,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差X，就受着许多随机因素的影响.,空气阻力所产生的误差X2，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差X1，,炮弹或炮身结构所引起的误差X3等等.,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,设X1,X2, 是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,n,，则将 标准化，有,进一步有,X1,X2, 是独立同分布, 则,解：,由题意知，V1,V2,V20独立同分布, Vk服从(0,10)上的均匀分布.,例6,所以 E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布中心极限定理得,于是,P(V105)=,定理2(棣莫弗拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明：若YnB(n, p), 则当n很大, Yn近似服从 N(np,np(1-p).,(二项分布的正态近似),简证：,设YnB(n,p), 则Yn表示n重伯努利试验中的 “成功” 次数 .,则 Yn= X1+X2+Xn,X1, X2, , Xn独立同分布,由独立同分布中心极限定理得 Yn近似服从 N(np,np(1-p).,应用：若YnB(n, p), 求P(z1Ynz2)=?,1. 由二项分布直接计算,计算量大,2. 由泊松分布近似计算,其中 np.,3. 由正态分布近似计算,n很大，p很小,n30, np10,例7 假设某保险公司里有1万人参加了人寿保险, 每人每年交12元保险费，若投保人在该年内死亡,公司付给家属1千元. 已知在一年内一个人死亡的概率为0.006, 试求 1.保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 2.保险公司在一年内盈利不少于4万元的概率.,解：,设 X 为一年中投保老人的死亡数, 则XB(10000, 0.006),1. 所求概率为P(1000*X ),10000*12,即 P( X120 ),XB(10000, 0.006),所求概率 P( X120 ),由棣莫弗拉普拉斯定理知,X近似服从N(np, np(1-p) ),P( X120 ),所以，保险公司不能亏本.,np=60,np(1-p)=59.64,2. 所求概率为P( 10000*12 ),1000*X,即 P( X80 ),XB(10000, 0.006),40000,np=60,np(1-p)=59.64,P( X80 ),所以，保险公司一年内盈利不少于4万元的概率为0.9952.,由中心极限定理，得,解：,设X表示使用外线的分机数，则,例8 某单位内部有200个电话分机，每个分机有5的时间要用外线通话，假设各个分机使用外线是相互独立的，问 总机要配备多少条外线，才能有90的把握保证各个分机在使用外线时不必等候？,XB(200, 0.05),又设总机配备了k条外线，则k满足,P(0Xk)0.9,XB(200, 0.05),P(0Xk)0.9,由中心极限定理，得,P(0Xk),0.900069,例9 一条生产线的产品以箱包装，每箱的重量是随机的，假设平均每箱重50千克，标准差5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆汽车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977.,解：,设 Xi 表示第i箱的重量，,i=1,2,则 X1 , X2 , 独立同分布,E(Xi)=50,D(Xi)=52,设汽车最多装n箱,