概率论6一维离散型随机变量.ppt

一维随机变量及其分布,在前面的学习中,我们用字母A、B、C.表示事件，并视之为样本空间的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。 本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。,随机变量及其分布,Random Variable and Distribution,随机变量,基本思想,将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果,有些随机试验的结果可直接用数值来表示.,例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示,例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的,可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”,Random Variable,有些随机试验的结果不是用数量来表示， 但可数量化,例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。,取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白,特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系,如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。 此时， “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 X=2 “一红一白”记为 X=1, “两只白球”记为 X=0,试验结果的数量化,一维随机变量(one-dimension random variable),定义,设随机试验的样本空间 的每一个样本点 均有唯一的实数,与之对应，称 为 上的一维随机变量。,如：掷骰子一颗，观察其点数。,令 与之对应，则,是一维随机变量。,又如：观察一电子元件的寿命。,样本点 表示“寿命为 小时 ”,令 与之对应，则,也是一维随机变量。,研究随机变量主要掌握的两个问题,1）找出随机变量的所有可能取值； 2）求出随机变量的概率规律.,如：掷骰子一颗，取其向上面点数为随机变量X的所有可能取的值为 X=1,2,3,4,5,6。,其概率规律为？,设是随机变量，则它的取值规律称为的概率分布（简称分布distribution）,随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小。,一维随机变量的分布函数,定义说明：,设 为随机变量， 是任意实数，则称函数 为随机变量 的分布函数。,分布函数的定义,1、分布函数实际上是一个概率，即随机变量 小于等于 的概率，也就是， 表示 落在 内的概率。,2、分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。,随机变量的分布函数有以下重要性质：,1、单调不减性：,2、右连续性：,3、,4、,设随机变量X的分布函数为： 试求：（1）系数A与B；（2）X落在(-1,1内的概率。,解：（1）由,一维离散型随机变量的分布,若离散型随机变量X的所有可能取值为ai，而X取值ai的概率为pi，即,如果随机变量的所有取值是有限或可数的，则称之,为离散型随机变量。,称为随机变量 的分布密度或分布律或概率分布或概率函数。,一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质：,或：,例 设X的分布律为,求 P(0X2),P(0X2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3,分布律确定概率,求分布律举例,例1 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示抽得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。,解：X的可能取值为 0，1，2,=P(抽得的两件全为正品),P(X=1),P(X=2),=P(只有一件为次品),=P(抽得的两件全为次品),P(X=0),故 X的分布律为,而“至少抽得一件次品”=(X1),= (X=1)(X=2),P(X1)= P(X=1)+P(X=2),注意：(X=1)与(X=2)是互不相容的！,实际上，这仍是等可能概型的计算题，只是表达事件的方式变了,故,解：由,例2 设随机变量 X 的分布律如下，求 及 X 的分布函数。,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,综上所述，,几种常见的一维离散型随机变量的分布律,二点分布 (0-1分布),定义： 若随机变量X的分布律为:,则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,背景：样本空间只有两个样本点的情况 ,都可以用两点分布来计算。如：抛硬币一次。,重复独立试验（n重贝努里试验）,则恰好有一次出现点 “ 6 ” 的概率,贝努里试验：每次试验只有两个结果的试验出现和不出现。,n次独立试验：n次试验条件不变，各次相互独立。,例5 掷骰子三次，求恰好有一次出现点 “ 6 ” 的概率。,解：设 表示第 次出现点“”，,二项分布,设在一次试验中事件出现的概率为,X 表示在 次贝努里试验中出现的次数，X的分布律为：,此分布称为二项分布。,记作,二项分布,一级品数 X 的分布密度。若取出的零件中有一级品，求恰有,例2 一大批零件的一级品率是 。从中任取 4 个，求取出的,解：由于零件数目很多，故可将取 4 个零件视作 4 次贝努里试验。,即,一个一级品的概率。,故,所求概率为,若随机变量 X 的分布密度是：,则称 X 服从泊松分布，记作,泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布。,其中参数 正是试验次数与事件的概率之乘积（即事件出现的 平均数）。所以它的一个重要应用是,则近似地，有,若,且 较大,（ ）， 较小,（ ）,服务台在某时间段内接待的服务次数X； 交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y; 矿井在某段时间发生事故的次数; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目,实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从 Poisson分布的,例3,解,例4 某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销售量 服从参数为 ，的泊松分布，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率充分满足顾客的需要。,解：设月初库存件k，则,查本书后面的泊松分布表得：,即月初进货时，要库存8件这种商品，才能以99%的概率充分满足顾客的需要。,解：400次上街 400重Bernoulii实验,记X为出事故的次数，则,P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1),=1-0.98 400-400（0.02)(0.98 399) 0.9972,=1- e-8 - 8e-8,0.9970,泊松定理,结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！,例：某人骑摩托车上街,出事故率为0.02，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率。,若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次， 则至少成功一次的概率为,成功次数服从二项概率,有百分之一的希望，就要做百分之百的努力,几何分布（geometric distribution）,设在一次试验中，事件发生的概率为p(0p1)，则在n重贝努里试验中