概率论与数理统计-3.1二维随机变量及其分布.ppt

1,第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布 3.2 边缘分布 3.3 条件分布* 3.4 随机变量的独立性 3.5 两个随机变量函数的分布,2,前几节我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。,例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y，以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,此时，我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为随机向量，又称多维随机变量.,3,类似于对一维随机变量的学习，对于多维随机变量，我们也将讨论如何通过分布函数、分布律及概率密度等概念来描述其取值的概率规律性，并认识几种常见的分布。,因方法类同，我们将以二维随机变量为主，展开讨论。学习时，应善于同一维随机变量情形进行比较，注意对两个随机变量的相互关系 的反映。,4,3.1 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量的分布函数 2. 二维离散型随机变量 3. 二维连续型随机变量,5,1. 二维随机变量的分布函数,定义3.1.1 设(X, Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数 F(x,y)=P(Xx)(Yy)=P(Xx,Yy) 称为二维随机变量(X, Y)的联合分布函数， 简称为（X,Y) 的分布函数.,6,二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的随机点， 显然，分布函数F(x,y)在平面上任意点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y) 为顶点而位于该点左下方的整个无穷区域内的概率，如图3.1.1所示,7,由前面的几何解释，容易得到随机点(X,Y)落在矩形区域D内的概率，其中,则,8,二维随机变量联合分布函数F(x,y)的性质,(1) F(x,y)分别关于x和y单调不减.,9,(3) 关于x或y都是右连续的，即,二维随机变量也分为离散型和连续型两种常见的形式，下面分别进行讨论.,10,2. 二维离散型随机变量,定义3.1.2 若二维 随机变量(X,Y)的所有可能的取值是有限对或可列无限对不同值，则称(X,Y) 是二维离散型随机变量. 称,为(X,Y)的联合概率分布，简称为概率分布或 分布律,11,二维离散型随机向量(X,Y)的分布律可用下列表格给出,12,具有下列性质,二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数与概率分布之间有如下关系式：,13,例 将一枚均匀的硬币抛掷4次，X表示正面向上的次数，Y表示反面朝上次数，求(X,Y)的概率分布.,解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4，Y的所有可能取值为0,1,2,3,4, 因为X+Y=4，所以(X,Y)概率非零的数值对为:,X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,P(X=0,Y=4) = 0.54 = 1/16,P(X=4,Y=0) = 0.54 = 1/16,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,联合概率分布表为:,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,14,1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果，得到(X,Y)的 所有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.,离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:,15,例 二维随机向量(X,Y)的概率分布为:,求: (1)常数a的取值; (2) P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1).,解 (1)由pij=1得: a=0.1,(2) P(X0,Y1) =,P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1),+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6,(3) P(X1,Y1),=P(X= -1,Y=0)+P(X= -1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75,16,解 (X,Y)的可能取值为(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)， 则,17,故(X,Y)的联合分布律为,18,解 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=(1/4)(1/i)1/4i (ij)，于是(X,Y)的分布律为,19,3. 二维连续型随机变量,与一维情形类似，我们有如下定义： 定义3.1.3 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数 为F(x,y)，若存在非负可积函数f (x,y)，使得对于任意实数x,y，都有 则称(X,Y)为二维连续型随机变量，函数f (x,y)称为(X,Y) 的联合概率密度函数，简称概率密度或密度函数。,20,密度函数f (x,y)的性质：,（1）非负性 （2）归一性 （3）当f (x,y)连续时， （4）若D是Oxy平面上的任一区域，则随机点(X,Y)落在D内的概率为：,21,（4）的几何解释,在几何上，二元函数f (x,y)表示三维空间的一个曲面，则（4）式表示随机点(X,Y)落入区域D内的概率等于以D为底，以曲面f (x,y)为顶的曲顶柱体的体积。,22,特别地，若D表示矩形区域:,则,23,解 (1)由,得,所以 k=6,(2),24,解 由,则,当x1, y1时,所以(X,Y)的联合分布函数,25,例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度,(1)求分布函数F(x,y); (2)求概率P(YX).,解:(1),(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标. G是xoy平面上直线y=x下方的部分.,26,常见的两种二维连续型随机变量的分布,均匀分布,定义3.1.4: 设D是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布,27,可以验证，均匀分布的密度函数f (x,y)满足密度函数的两个性质。,与前面类似，服从区域D上的均匀分布的二维随机变量(X,Y)落在D中任一区域D1的概率与D1的面积成正比，与D1的位置和形状无关。,28,二维正态分布,定义3.1.5： 如果(X,Y)的联合密度函数为,其中1,2,10,20,(| |1)为常数. 则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布, 记为,29,可以验证，二维正态分布的密度函数f (x,y)满足密度函数的两个性质，其图像如图3.1.3。,30,1. 若(X,Y)的密度函数为,求: (1)常数 A ; (2) P( X2, Y1);,(3) P(Xx,Yy).,解: (1),所以, A=6,= A/6 =1,(4)P(X,Y)D), 其中D为 2x+3y6.,练习:,(5) P(X,Y)D), 其中D为 y= x+1, y=x+1, y=0所围区域.,31,所以, P( X2, Y1),2,1,X2