概率论与数理统计第三章.ppt

概率论与数理统计,山东大学经济学院，李长峰 2012.10.26,我们开始学习多维随机变量,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .,它是第二章内容的推广.,第三章 多维随机变量及其分布,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等.,一般地，我们称n个随机变量的整体 X=(X1, X2, ，Xn)为n维随机变量或随机向量. 以下重点讨论二维随机变量.,4,第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量及其分布 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 随机变量的独立性 3.5二维随机变量函数的分布,3.1 二维随机变量及其分布,定义 设为随机试验的样本空间，,则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量,下面给出相应的分布函数、密度函数或分布律等一些反应变量概率性质的函数,定义 3.1.1 设(X，Y)为二维随机变量，对任意实数x，y，二元函数 称为二维随机变量(X，Y)的联合分布函数， 简称为(X，Y)的分布函数。,几何意义：F(x,y)表示随机点落入以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域D内的概率。（如图阴影部分）,随机点(X,Y) 落在矩形区域： 内的概率为,如图,联合分布函数的性质,(x, y),固定 x , 对任意的 y1 y2 ,固定 y , 对任意的 x1 x2 ,F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ),F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 ),F (x, y1) F (x, y2),F (x1,y) F (x2, y),定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.,要描述二维离散型 r.v.的概率特性及其与每个 r.v.之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布,联合分布律,设( X ,Y )的所有可能的取值为,则称,为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布律,显然，,( X ,Y ) 的联合分布律,x1 xi,二维离散 r.v.的联合分布函数,已知联合分布律可以求出其联合分布函数,联合分布律 的求法, 利用古典概型直接求；, 利用乘法公式,(X, Y)落入平面区域 G内的概率,例3.1.1 设随机变量X在1,2,3三个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值，求(X,Y)的概率分布。,解：由假设，随机变量X的可能取值为1,2,3. 而YX，故Y 的可能取值范围也为1,2,3. 首先，当 ji 时，X=i,Y=j 为不可能事件，故 P(X=i,Y=j)=0，ji. 当 ji 时，根据概率的乘法公式，有 P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j | X=i) =1/i 1/3，i=1,2,3. 由此得(X, Y)的概率分布如下：,例3.1.2 设(X, Y)的分布函律为,求： P(X=0) P(Y2) P(X1,Y2) P(X+Y=2),=P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)+P(X=0,Y=3) =0.1+0.1+0.3=0.5,=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=2) =0.1+0.25+0.1+0=0.45,=P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2) =0.1+0.1=0.2,=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.25=0.35,二维连续型随机变量,定义 设二维 r.v.( X, Y )的分布函数为F(x, y), 若存在非负可积函数 f (x, y) , 使得对于任意实数 x , y 有,则称( X, Y ) 为二维连续型 r.v. f (x, y) 为( X, Y ) 的联合概率密度函数 简称概率密度函数简记 p.d.f.,联合密度的性质,(4) 若G 是平面上的区域，则,几何意义： 二元函数 f(x, y)在三维空间表示一曲面, 上式表明随机点(X, Y)落入区域G内的概率恰好等于以G为底, 以曲面 f(x, y)为顶的曲顶柱体的体积。,例3.1.3 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 求：（1）常数 k；（2）P(XY),解：（1）由概率密度的性质可知 即,（2）,例3.1.4 设二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为 （1）求(X, Y)的分布函数 F(x, y)； （2）求 P(0X3，0Y4)。,解 （1）,（2）利用（1）的结果,常用连续型二维随机变量分布,G 是平面上的有界区域, 面积为 A,若r.v.( X, Y ) 的联合 d.f. 为,则称( X, Y )服从区域G上的均匀分布,与第2章中服从区间a, b上的均匀分布类似，服从区域 G 上的均匀分布 (X, Y) 落在 G 中任一区域 D的概率只与的 D 面积成正比，而与 D 的位置和形状无关。,例3.1.5 设二维随机变量(X, Y) 服从区域 G 上的均匀分布，其中 G：0x1,0yx，求 (1) P(X+Y1); (2) P ( Y X 2 ); (3) ( X ,Y ) 在平面上的落点到 y 轴距离小于 0.3 的概率. 。,解 (1) 如右图，G 的面积 A=1/2，所以(X, Y)的概率密度为 则,G,D,x,y,O,x+y=1,1,y=x,(2),(3),定义3.1.5 若二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为 则称(X，Y)服从参数 的二维正态分布。 记作,二维正态分布,3.2 边缘分布,二维随机变量的联合分布是把(X，Y)看作一个整体的分布。其中分量X和Y都是一维随机变量，也有各自的分布，分别称X和Y的分布为二维随机变量(X，Y)关于X和Y的边缘分布。 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，分别记关于X和Y的边缘分布函数为Fx(x)和Fy(y)，由于 Fx(x)=P(Xx,Y+ )=F(x,+ ), 同理，有 Fy(y)=F(+ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布函数F(x，y)来确定。,二维离散型随机变量的边缘分布,设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为 则,另一方面 两式比较 同理可得 记,(X，Y)关于X的 边缘概率分布,(X，Y)关于Y的 边缘概率分布,还可表示为：,例3.2.1 袋中装有4只白球和2只黑球，分别采取有放回和无放回的取法，每次取一个，共取两次，定义随机变量X，Y如下： 求(X，Y)的联合概率分布及其边缘分布。,解 对有放回的情形P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0X=0)=2/62/6=1/9 同样可得P(X=0,Y=1)=2/9，P(X=1,Y=0)=2/9，P(X=1,Y=1)=4/9 由此，(X，Y)的联合分布及边缘分布如下：,对无放回的情形(X，Y)的联合分布及边缘分布如下：,由此例看出，X和Y的边缘分布完全相同，但是它们的联合分布却不相同。 也就是说，一般情况下，联合分布唯一确定其边缘分布，反之不然。,二维连续型随机变量的边缘分布,若二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数与密度函数分别为F(x，y)与f(x，y)，则有,记,分别称fX(x)，fY(y)为二维连续型随机变量(X，Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称边缘密度函数。,例3.2.2 设二维随机变量(X，Y)服从区域D上的均匀分布，其中D=(x,y)x0，y0，x+y/21，求其边缘密度函数。,解 区域D为直角三角形，其面积为1，所以(X，Y)的密度函数为,解 设二维正态随机变量 关于X和Y的边缘概率密度函数分别记为fX(x)和fY(y)。 为了计算方便，令,例2.2.3 求二维正态随机变量的边缘密度函数。,注意到上式中的被积函数恰好是服从正态分布 的随机变量的密度函数,由此看见，二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，而且这两个边缘分布都与其中参数无关。 这表明仅仅由X和Y的边缘分布，一般不能完全确定二维随机变量(X，Y)的联合分布。,*3.3 条件分布,离散型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布,对于二维随机变量，当其中某一随机变量的取值确定后，另一随机变量的分布问题。,离散型随机变量的条件分布,设离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为 关于X和Y的边缘分布列为 P(X=xi)=pi，i=1,2,， P(Y=yj)=pj，i=1,2,， 对某一固定的i，若P(X=xi)=pi0，则称 为在X=xi的条件下，随机变量Y的条件分布律。 同样，对于某一固定的j，若P(Y=yj)=pj，0，则称 为在Y=yj的条件下，随机变量X的条件分布律。,条件分布律的性质： 1、 2、,例3.3.1 在例3.1.1中，求关于X和Y的边缘分布律及在Y=1的条件下，X的条件分布律。,解 关于X和Y的边缘分布如下：,在Y=1的条件下有,故在Y=1的条件下，X的条件分布列为,对于任意0，若(x-0，对任意实数y，极限 存在，则称它为在给定条件X=x下，随机变量Y的条件分布函数，记为,当X和Y是连续型随机变量时，事件X=x和Y=y的概率都是0，所以不能直接使用条件概率的公式给出在X=x及Y=y的条件下的条件分布。考虑随机变量X落在x的某邻域内的概率，进而给出连续型随机变量的条件分布。,连续型随机变量的条件分布,若二维随机变量(X，Y)的概率分布函数为F(x,y)，密度函数为f(x,y)，且f(x,y)在点(x,y)处连续，边缘分布函数，密度函数分别为FX(x)，fX(x)，且fX(x)0连续，则有,即,若记X=x条件下Y的条件概率密度函数为 则有,类似的有,其中fY(y)是Y的边缘密度函数，fY(y)0，且连续。,例3.3.2 设二维随机变量 求条件概率密度函数,解 由例3.2.3知,即在X=x条件下Y的条件分布为正态分布,注意到，这里 是x的线性函数。,同理可得,例3.3.2 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求条件概率密度 以及概率P(Y1/8X=1/4).,解 边缘密度,则当0x1时，,于是,从而,3.4 随机变量的独立性,定义3.4.1 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，关于X和Y的边缘分布函数分别为F(x,y),FX(x),FY(y).若对任意的实数x，y有 F(x,y)=FX(x)FY(y)， 则称随机变量X与Y相互独立。 由分布函数的定义，上式可以写成 P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy). 由此，随机变量X与Y的相互独立是指对任意实数x，y，随机事件Xx与Yy相互独立。,(X,Y)为离散型随机变量时 P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)，i,j=1,2,. (X,Y)为连续型随机变量时 f(x,y)=fX(x)fY(y), 其中f(x,y)，fX(x)，fY(y)分别为(X,Y)的联合密度函数与边缘密度函数。,例3.4.1 讨论例3.2.1中随机变量X与Y的独立性。 解 在有放回抽取