概率论与数理统计第17讲.ppt

此幻灯片可在网址 上下载,第17讲,概率论与数理统计讲义,第四节 抽样分布,统计量的分布称为抽样分布。在使用统计量进行统计推断时常需知道它的分布。当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的。本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布。今后，我们将看到这些分布在数理统计中有重要的应用。,一、三个重要分布 为了讨论正态总体下的抽样分布，先引入由正态分布导出的统计中的三个重要分布，即c2分布，t分布，F分布。,1. c2分布 设X1,X2,Xn是来自总体N(0,1)的样本(这句话等价于X1,X2,Xn相互独立且都服从标准正态分布), 则称统计量,服从自由度为n的c2分布，记为c2c2(n). 此处，自由度是指(1)式右端包含的独立变量个数. c2(n)分布的概率密度为,n=6,n=2,n=4,n=1,n=11,2,4,6,8,10,12,14,0.10,0.20,0.30,0.40,x,O,f(y)的图形:,c2分布的数学期望和方差 若c2c2(n), 则有 E(c2)=n, D(c2)=2n. 事实上，因XiN(0,1), 故,因此,又,c2分布的分位点 定义 设有分布函数F(x)，对给定的a(0xa=a, (6) 则称点xa为F(x)的上a分位点. 当F(x)有密度函数f(x)时, 式(6)可写成,由上述定义得c2(n)分布的上a分位点为,如图所示，对于不同的a,n的上a分位点的值已制成表格，可以查明(参见附表4).,a,其中ua是标准正态分布的上a分位点. 利用(9)式可以求得当n45时，c2(n)分布的上a分位点的近似值. 例如，由(9)式可得,2. t分布 设XN(0,1), Yc2(n), 且X,Y独立，则称随机变量,服从自由度为n的t分布. 记为tt(n). t分布又称为学生氏(student)分布. t(n)分布的概率密度函数为,(证略),n=,n=9,n=2,O,x,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,t分布概率密度的图形:,h(t)的图形关于t=0对称, 当n充分大时, 其图形类似于标准正态变量概率密度的图形. 事实上, 利用G函数的性质可得,故当n足够大时, t分布近似于N(0,1)分布. 但对于较小的n, t分布与N(0,1)分布相差较大.,t分布的分位点 对于给定的a, 0a1，称满足条件,的点ta(n)为t(n)分布的上a分位点.,a,ta(n),由t分布的上a分位点的定义及h(t)图形的对称性知 t1-a(n)=-ta(n) (14) t分布的上a分位点可自附表3查得. 在n45时，对于常用的a的值，就用正态近似： ta(n)ua (15),3.F分布 设Uc2(n1), Vc2(n2), 且U,V独立, 则称随机变量,服从自由度为(n1,n2)的F分布, 记为FF(n1,n2). F(n1,n2)的概率密度为,(17),O,1,2,3,(n1,n2)=(10,40),(n1,n2)=(11,3),F分布概率密度的图形:,(18),F分布的分位点 对于给定的a, 0a1, 称满足条件,的点Fa(n1,n2)为F(n1,n2)分布的上a分位点，有表格可查(见附表5),Fa(n1,n2),a,容易证明下面的等式：,利用这个等式，查附录表5，可以计算当a=0.95, 0.975, 0.99, 0.995时的Fa的值. 例如，我们有,二、正态总体统计量的分布 研究数理统计的问题时, 往往需要知道所讨论的统计量g(X1,X2,Xn)的分布. 一般说来, 要确定某个统计量的分布是困难的, 有时甚至是不可能的. 然而，对于总体X服从正态分布的情形已经有了详尽的研究. 下面我们讨论服从正态分布总体的统计量的分布.,本段假设X1,X2,Xn是来自正态总体N(m,s2)的样本，即它们是独立同分布的, 皆服从N(m,s2)分布. 样本均值与样本方差分别是,证 因为随机变量X1,X2,Xn相互独立, 并且与总体X服从相同的正态分布N(m,s2)，所以由正态分布的性质可知，它们的线性组合,证明从略. 下面讲自由度含义.,由样本方差S2的定义易知,所以统计量,虽然是n个随机变量的平方和，但是这些随机变量不是相互独立的，因为它们的和恒等于零：,受到一个条件的约束，所以自由度为n-1.,例1 设X1,X2,Xn是来自N(m,