矩阵理论-第四讲最小多项式.ppt

矩阵理论第4讲 - 1,矩阵理论-第四讲,兰州大学信息科学与工程学院 2004年,矩阵理论第4讲 - 2,上节内容回顾,化方阵A为Jordan标准形 特征向量法 初等变换法 多项式矩阵（ 矩阵） 多项式矩阵的Smith标准型 不变因子、初等因子 行列式因子法 的相似变换矩阵P的求法,在A的Jordan矩阵中构造k个以 为对角元素的Jordan块 k个Jordan块的阶数之和等于,矩阵理论第4讲 - 3,Hamilton-Cayley定理,任一方阵都是它的特征多项式的根 Hamilton-Cayley定理 设 ， ，则 证明： 由于 显然,矩阵理论第4讲 - 4,Hamilton-Cayley定理,任一方阵都是它的特征多项式的根 证明： 考察J：,矩阵理论第4讲 - 5,Hamilton-Cayley定理,将J写成如下形式： 上式中 是A 的n个根，所以 将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，： 将 代入上式：,矩阵理论第4讲 - 6,Hamilton-Cayley定理,矩阵理论第4讲 - 7,Hamilton-Cayley定理,矩阵理论第4讲 - 8,Hamilton-Cayley定理,矩阵理论第4讲 - 9,Hamilton-Cayley定理,任一方阵都是它的特征多项式的根 证明： 仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵： 设 其中： 是 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，那么与常数矩阵类似：,矩阵理论第4讲 - 10,Hamilton-Cayley定理,设 是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么 是次数为n的多项式： 再考察 ，其每个元素的次数均不超过n 1:,矩阵理论第4讲 - 11,Hamilton-Cayley定理,令: 利用矩阵加法的定义 将 分解,矩阵理论第4讲 - 12,Hamilton-Cayley定理,考察等式 的右边： 考察其左边： 比较两边的系数：,矩阵理论第4讲 - 13,Hamilton-Cayley定理,以 依次右乘这些等式：,=,矩阵理论第4讲 - 14,Hamilton-Cayley定理的应用,化简矩阵多项式的计算： 当n阶方阵的矩阵多项式 中A的最高次幂超过n时，可用多项式的带余除法，将此矩阵多项式对应的多项式 表示为 与商 的积，再加上余式 的形式： 那么根据Hamilton-Cayley定理 这样可简化 的计算 多项式的带余除法 设 ， 为任意多项式， 不恒等于0，则必有两个多项式 和 ，使得 式中 或,矩阵理论第4讲 - 15,Hamilton-Cayley定理的应用,举例： 给出： 求 ； ； ；,矩阵理论第4讲 - 16,Hamilton-Cayley定理的应用,商：,矩阵理论第4讲 - 17,Hamilton-Cayley定理的应用,所以： 第2个问题 第3个问题,：待定系数法,矩阵理论第4讲 - 18,方阵的零化多项式和最小多项式,方阵的零化多项式 设 ， 是多项式，如果 成立，则称 为方阵A的零化多项式 是A的零化多项式 不恒等于零， 是A的零化多项式 方阵的最小多项式 设 ，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式，记为 设 ， 且 ， 成立，且 是唯一的 证明：采用反证法 设 是A的任一零化多项式，假设 不能整除 ，则根据多项式的带余除法：,矩阵理论第4讲 - 19,方阵的零化多项式和最小多项式,而 是A的最小多项式：与假设矛盾 再证最小多项式的唯一性 假设 也是A的最小多项式 首先， 、 均成立 其次， 与 次数相同，否则其中一个不是最小多项式 因此， 、 的商为常数因子 又因为 与 都是首一的，此常数因子必等于1 所以,矩阵理论第4讲 - 20,方阵的零化多项式和最小多项式,定理 矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根；A的最小多项式的根必定是A的特征根 证明：根据矩阵多项式的特征值的定理，即 设 是 的特征值 ，矩阵多项式 的特征值为 并且，若 则A的任一特征值满足 是A的次数最低的、首一的零化多项式： 即：A的特征根也必定是A的最小多项式的根 又：设 是 的根，即 ，可得 是A的特征根,矩阵理论第4讲 - 21,方阵的零化多项式和最小多项式,矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根，由此可得到求最小多项式的一个方法： 设 的所有不同的特征值为 ，则其特征多项式可写为： 那么A的最小多项式应该具有如下形式： 这就是下述定理所描述的内容： 定理 设 ， 是A的所有互不相同的特征值，则 其中 是A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数,矩阵理论第4讲 - 22,方阵的零化多项式和最小多项式,矩阵理论第4讲 - 23,方阵的零化多项式和最小多项式,定理 设 ， 是A的特征矩阵 的n 1阶行列式因子，则A的最小多项式为：,矩阵理论第4讲 - 24,方阵的零化多项式和最小多项式,举例： 求 的最小多项式 方法1 最小多项式只能有以下形式 次数从低到高依次验证 所以,矩阵理论第4讲 - 25,方阵的零化多项式和最小多项式,举例： 求 的最小多项式 方法2 (Jordan标准形法) ：A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数,矩阵理论第4讲 - 26,方阵的零化多项式和最小多项式,举例： 求 的最小多项式 方法1 (第n阶不变因子),矩阵理论第4讲 - 27,方阵的零化多项式和最小多项式,举例： 求 的最小多项式 方法2 (Jordan标准形法) ：A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数,矩阵理论第4讲 - 28,多项式矩阵的逆,多项式矩阵的逆 设 ，若 ，使得 成立 则称 是可逆的，或称 是单模矩阵 多项式矩阵的逆是唯一的 设 也是 的逆，则 多项式矩阵可逆的充要条件 可逆 证明： 必要性 假设 可逆，则 ， 成立,矩阵理论第4讲 - 29,多项式矩阵的逆,充分性 设 ，则 使得 其中， 是 的伴随多项式矩阵,矩阵理论第4讲 - 30,初等矩阵及多项式矩阵的等价,结论： 对多项式方阵，满秩未必可逆 初等多项式矩阵都是可逆的 初等多项式矩阵都是单模的,矩阵理论第4讲 - 31,多项式矩阵的等价,与 有相同的行列式因子，或相同的不变因子 证明： 必要性 多项式矩阵的Smith标准形的唯一性 与 有相同的不变因子 多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系 与 有相同的行列式因子,矩阵理论第4讲 - 32,多项式矩阵的等价,充分性 设 与 有相同的不变因子（因而有相同的行列式因子），则它们与同一个Smith标准形等价，即 矩阵的相似与其特征矩阵的等价之间的关系 定理 相似矩阵有相同的最小多项式 证明：,矩阵理论第4讲 - 33,多项式矩阵的互质性简介,右公因子(Right Common Factor)： 设 与 ，如果存在多项式矩阵 、 以及 ，使得 及 成立 则称多项式矩阵 是 与 的右公因子 左公因子(Left Common Factor) 设 与 ，如果存在多项式矩阵 、 以及 ，使得 及 成立 则称多项式矩阵 是 与 的左公因子 最大右公因子(greatest common right decomposition factor, gcrd ?) 是 与 的右公因子； 与 的任一其它的右公因子 都是 的右乘因子,矩阵理论第4讲 - 34,多项式矩阵的互质性简介,gcrd的存在性 及 ，其gcrd都存在。 gcrd的构造定理 若存在单模矩阵 ，使得 则 即为 与 的一个gcrd 证明： 先证 是右公因子。为此，把 的逆矩阵 写成分块矩阵：,矩阵理论第4讲 - 35,多项式矩阵的互质性简介,以 左乘定理中的等式两边，可得 比较等式里边分块矩阵中的每一个分块，可知 是 与 的右公因子 再证 是gcrd，即若 为 与 的另一右公因子，证明 是 的右乘因子，将 代入,矩阵理论第4讲 - 36,多项式矩阵的互质性简介,可得 gcrd的求法 若对分块多项式矩阵 进行一系列初等行变换，使其下面的m n分块成为零多项式块 则 就是求 与 的gcrd的变换矩阵， 就是所求的gcrd,矩阵理论第4讲 - 37,多项式矩阵的互质性简介,求gcrd举例 给出 求,矩阵理论第4讲 - 38,多项式矩阵的互质性简介,求gcrd举例,矩阵理论第4讲 - 39,多项式矩阵的互质性简介,gcrd的基本性质 不唯一性。 单模矩阵 满秩 满秩 单模 单模 若 ，则,矩阵理论第4讲 - 40,多项式矩阵的互质性简介,gcrd的基本性质 对 及 ，若 则 可表示为 事实上，由gcrd的构造定理 取 ， 即可,矩阵理论第4讲 - 41,多项式矩阵的互质性简介,多项式矩阵的互质 称 与 是右互质的，若 为单模矩阵 多项式矩阵的互质的Bezout判别准则 与 右互质 使Bezout等式 成立 证明： 必要性 与 右互质 为单模矩阵，以其逆 左乘构造定理中的上分块矩阵等式 可得,矩阵理论第4讲 - 42,多项式矩阵的互质性简介,令 则充分性得证 充分性 设Bezout等式成立： 给定一个 则 及 ，使得 成立 代入Bezout等式 从而 是单模矩阵 与 右互质,矩阵理论第4讲 - 43,多项式矩阵的互质性简介,多项式矩阵的互质的Smith标准形判别准则 与 右互质 分块多项式矩阵 的Smith标准形为 即： 证明： 必要性,矩阵理论第4讲 - 44,多项式矩阵的互质性简介,由gcrd构造定理有： (1) 其中， 是单模矩阵 若 与 右互质 是单模矩阵 设 的逆为 ，以其右乘(1)式 由于等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形 必要性得证,矩阵理论第4讲 - 45,多项式矩阵的互质性简介,充分性 若 成立 与 （均为单模阵），使得 成立，设 的逆为 ，以其右乘上式，可得 由构造定理， ，且单模 与 右互质,矩阵理论第4讲 - 46,多项式矩阵既约性简介,多项式矩阵的行次数和列次数 对多项式矩阵 ，定义 分别为 的第i行次数和 的第j列次数，分别记为： 举例:,矩阵理论第4讲 - 47,多项式矩阵既约性简介,多项式矩阵的列次表示式 多项式矩阵 可用其列次数表示为列次表示式 其中， 是一对角阵； ：列次系数矩阵，其第j列为 的第j列中相应 于 项的系数组成的列 ； ：低次剩余多项式矩阵，且,矩阵理论第4讲 - 48,多项式矩阵既约性简介,多项式矩阵的行次表示式 多项式矩阵 可用其行次数表示为行次表示式 其中， 是一对角阵； ：行次系数矩阵，其第i行为 的第i行中相应 于 项的系数组成的行 ； ：低次剩余多项式矩阵，且,矩阵理论第4讲 - 49,多项式矩阵既约性简介,多项式方阵的行列式与其列次的关系 多项式方阵 的行列式可表示为如下形式 多项式方阵的行列式与其行次的关系 多项式方阵 的行列式可表示为如下形式 多项式方阵的行次和与列次和的关系 多项式方阵的行次和等于列次和,矩阵理论第4讲 - 50,多项式矩阵既约性简介,多项式矩阵的既约性 列既约 设 ，若 则称 是列既约的 行既约 设 ，若 则称 是行既约的,矩阵理论第4讲 - 51,多项式矩阵既约性简介,举例,是列既约的，但不是行既约的,矩阵理论第4讲 - 52,多项式矩阵既约性简介,定理 对 ，则 是列既约的 是行既约的 证明： 先证第一项 由于 故当且仅当 时（即 满秩），有 根据列既约的定义， 为列既约的 同理可证第二项,矩