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第七章 常微分方程,本章学习要求:,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利(Bernoulli)方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法:,了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.,第三节 几种可降阶的高阶常微分方程,二阶和二阶以上的微分方程,称为高阶微分方程。,通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法,称为“降阶法”。,“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。,这是变量可分离的方程,两边积分,得,即,解,解,这是一个一阶微分方程。设其通解为,连续积分即可求解。,解,两边积分,得,即,再积分,得原方程的通解,解,分离变量,得,积分,得,连续积分 4 次,得原方程的通解为,于是,原方程化为,这是一个一阶微分方程。设其通解为,这是一个变量分离方程,它的通解就是原方程的通解。,解,于是,原方程化为,两边积分,得,运用分离变量法,得此方程的通解为,综上所述,原方程的通解为,解,即,从而,即,运用分离变量法求解此方程,即得原方程的通解:,形如,的方程称为克莱罗方程,其中函数 f 为可微函数。,可以直接写出该方程的通解:,并且由下列方程组可求得该方程的奇解:,证,将克莱罗方程两边关于 x 求导,得,( 通解 ),解,原方程即,由题意,这是一个克莱罗方
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