已阅读5页,还剩20页未读, 继续免费阅读
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
例1 考虑二次型,有,称此二次型是正定二次型.,相应的矩阵,为正定矩阵.,例 2 考虑二次型,4.3 二次型与对称矩阵的有定性,有,称此二次型是半正定二次型.,相应的矩阵,称为半正定矩阵.,例3 二次型,有,称此二次型是负定二次型.,相应的矩阵,为负定矩阵.,例4 考虑二次型,有,称此二次型是半负定二次型.,相应的矩阵,称为半负定矩阵.,定义4.4 对于具有对称矩阵 A 的二次型,如果对任何,都有,则称二次型,如果对任何,都有,则称二次型,是负定二次型.,A称为正定矩阵,A称为负定矩阵,是正定二次型.,定义4.4 对于具有对称矩阵 A 的二次型,如果对任何,都有,则称二次型,如果对任何,则称二次型,是半负定二次型.,A称为半正定矩阵,A称为半负定矩阵,都有,且存在,且存在,使,使,是半正定二次型.,二次型 是正定的,有,有,二次型 是半正定的,有,且,使,有,且,使,例 二次型,不是 正定的;,(半),(半),也不是 负定的.,此时,称为不定的.,二次型 是负定的,二次型 是半负定的,例 二次型,对任何,故二次型,为正定二次型,故单位矩阵En,为正定矩阵.,设d1 ,d2 ,dn均大于0,事实上,对任何,故二次型,为正定二次型,故当d1 ,d2 ,dn 均大于0时,为正定二次型,为正定矩阵.,例 二次型,对任何,故此二次型为半负定二次型.,例 二次型,是不定的.,定理4.7对角矩阵,为正定矩阵,证 充分性已证.,必要性:,设D是正定矩阵,则,如果A正定,由于C可逆,,方程组,只有零解.,A正定,所以矩阵B正定.,则B也正定.,C可逆。,要证,只须证,是否正定呢?,矩阵为正定矩阵的充分必要条件,准则2,准则4,准则1,A与单位矩阵 E 合同.,A的特征值都大于零,准则3,f 的正惯性指标为n,以下给出几个,作为判别准则.,存在,使得,矩阵A为正定矩阵,n 元二次型f 正定,矩阵A为正定矩阵,可逆矩阵C,如何判断一个矩阵或二次型,准则5 矩阵A为正定矩阵的充分必要 条件是,定义4.5,称为矩阵A的顺序主子式.,A的顺序主子式都大于零.,(定理4.9),例 判别下列矩阵或二次型是否正定,A正定,解 二次型对应的矩阵为:,该二次型正定,解 二次型对应的矩阵为:,二次型不正定,课堂练习,判别二次型是否正定,例 取何值时,解 二次型对应的矩阵为:,时,二次型正定.,以下二次型为正定,证:A是实对称矩阵,A的所有特征值,准则4 矩阵A为正定矩阵,A的特征值都大于零,A正定,A的所有特征值,存在正交矩阵Q,使得,准则2 矩阵A为正定矩阵,A与单位矩阵E合同.,A是实对称矩阵,A的所有特征值,证 充分性:若,则由于 E 正定,必要性: 设A正定,则A的特征值都大于0,则PT=P,P 与Q都可逆,故,故A正定.,存在正交矩阵Q,使得,也可逆,,准则3 n 元二次型f正定,f 的正惯性指标为n,证 设 f = xTAx,其对应的矩阵A正定,存在可逆矩阵C,使得,经过非退化线性替换,二次型化为,f 的正惯性指标为n,二次型 正定,正定矩阵的性质:,(1) 若A正定,证法1 A正定,A1的特征值都大于0,,证法2 A正定,即存在可逆矩阵C,使得,故A1正定.,D可逆,则A可逆,且A1也正定.,A的特征值都大于0,A的特征值都0,所以A可逆.,故A1正定,0是A的特征值,0不是A的特征值,正定矩阵的性质:,正定矩阵的主对角线上的元素都大于0,都有,证 设,正定,则,矩阵A负定,都有,证: A负定,都有,矩阵(A)正定.,故判断一个矩阵是否负定,负定的判别:,可以转化为判断它的负矩阵,是否正定.,矩阵 正定.,( k=1,2,3,n ),负定,正定,即A的顺序主子式负正相间.,例,A是负定矩阵.,注意:,矩阵A负定,A的顺序主子式负正相间.,A的顺序主子式都为负.,矩阵A正定,A的顺序
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 连词状语从句市公开课一等奖省赛课微课金奖课件
- 2023年浙江省台州市中考化学试卷答案
- 2023年届高三化学一轮复习化学物质及其变化(有答案和)
- 2023年朗诵语言表演艺术考级考题(青少年卷)
- 2023年度专利代理人考试《专利法》真题及答案
- 2023年度清香型白酒研究报告
- 内科学:循环系统疾病考试题五
- 内科学(医学高级):泌尿系统疾病试题预测(强化练习)
- 动脉采血曹艺瀚课件
- 2024年04月辽宁东北大学专任教师招考聘用笔试历年(难与易错考点)高频考题后附答案详解
- 24春国家开放大学《家畜环境卫生与设施》形考作业2参考答案
- 演唱会售票方案
- 2024年吉林省气象台招聘工作人员历年高频考题难、易错点模拟试题(共500题)附带答案详解
- 2024年03月上海市工商外国语学校招考聘用15人笔试近6年高频考题难、易错点荟萃答案带详解附后
- 2024国家统计局温岭调查队公开招聘编外合同制人员3人(浙江台州)高频考题难、易错点模拟试题(共500题)附带答案详解
- 2024年辅导员职业能力大赛的基础知识题库解析
- 2024供电营业规则学习课件
- 体育人才培养方案
- 《跨境电商 B2B 运营》课程标准
- 广州市越秀区2024届三年级英语第二学期期中统考试题含答案
- 2024春苏教版《亮点给力大试卷》 数学四年级下册(全册有答案)
评论
0/150
提交评论