MATLAB数值计算-河南教育学院.ppt

第4章 MATLAB 数值计算(2),MATLAB 7.X程序设计,2/47,4.4 多项式函数,4.4.1 多项式的表示 MATLAB中多项式的表示方法 ：,例如：行向量 p=1 -12 0 25 116对应的多项式为：,MATLAB 7.X程序设计,3/47,4.4.2多项式的算术运算,1 加减运算,MATLAB 7.X程序设计,4/47,MATLAB 7.X程序设计,5/47,2 乘法运算,MATLAB支持多项式乘法，函数格式为： 函数conv(P1,P2) 求多项式P1和P2的乘积。 这里，P1，P2是两个多项式系数向量。,例 4-44 计算 c=conv(1 2 2,1 5 4) 执行结果如下： c = 1 7 16 18 8 由执行结果可知:,MATLAB 7.X程序设计,6/47,3 除法运算 Q,r=deconv(P1,P2) 对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。 注意deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。,MATLAB 7.X程序设计,7/47,例4-45 计算 Q=deconv(1 8 0 0 -10,2 -1 3) Q = 0.5000 4.2500 1.3750 Q,r=deconv(1 8 0 0 -10,2 -1 3) 执行结果如下： Q = 0.5000 4.2500 1.3750 r = 0 0 0 -11.3750 -14.1250 由执行结果可知商是: 余式是:,MATLAB 7.X程序设计,8/47,4.4.3 导函数,p=polyder(P) 求多项式P的导函数p p=polyder(P,Q) 求PQ的导函数p p,q=polyder(P,Q) 求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。,MATLAB 7.X程序设计,9/47,例4-46 求的导数,p=3 -2 1;polyder(p) 执行结果为： ans = 6 -2 结果是,MATLAB 7.X程序设计,10/47,a=3 -2 1;b=4 5 6;polyder(a,b) 执行结果为： ans = 48 21 24 -7 结果是,例4-47 求的导数,MATLAB 7.X程序设计,11/47,例4-48 求 的导数。,a=3 -2 1;b=4 5 6; q,d=polyder(a,b) 执行结果为： q = 23 28 -17 d = 16 40 73 60 36,MATLAB 7.X程序设计,12/47,例4-49 求有理分式 的导数。,P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q) 执行结果为： p = -2 0 q = 1 0 10 0 25,MATLAB 7.X程序设计,13/47,4.4.4 多项式求根,x=roots(P) 其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n个根。 给出一个多项式的根，可以构造相应的多项式。若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起多项式，其调用格式为： P=poly(x) x为具有n个元素的向量，poly(x)为以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。,MATLAB 7.X程序设计,14/47,例4-50 求多项式的 根,A=1,8,0,0,-10;x=roots(A) 执行结果如下： x = -8.0194 1.0344 -0.5075 + 0.9736i -0.5075 - 0.9736i 由结果可以看出，方程的根为两个实根和一对共轭复根,MATLAB 7.X程序设计,15/47,例4-51 求方程 的根。,r=1 -7 2 40; p=roots(r); 执行结果如下： p = 5.0000 4.0000 -2.0000 由结果可以看出，方程的根均为实根 5.000，4.0000和-2.0000。,MATLAB 7.X程序设计,16/47,例 4-52已知 (1) 计算 的全部根。 (2) 由方程 的根构造一个多项式 并与 进行对比。,P=3,0,4,-5,-7.2,5; X=roots(P) %求方程f(x)=0的根 G=poly(X) %求多项式G(x),MATLAB 7.X程序设计,17/47,执行结果为： X = -0.3046 + 1.6217i -0.3046 - 1.6217i -1.0066 1.0190 0.5967 G = 1.0000 0.0000 1.3333 -1.6667 -2.4000 1.6667 注意：构造的多项式的首项系数为1。,MATLAB 7.X程序设计,18/47,4.4.5多项式估值,1 代数多项式求值 Y=polyval(P,x) 求代数多项式的值。若x为一常数，则求多项式P在该点的值， Y = P(1)x N + P(2) x (N-1) + . + P(N) x + P(N+1) 若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式P的值，返回值为与自变量同型的向量或矩阵。,MATLAB 7.X程序设计,19/47,例4-53 已知 分别计算 和 时 的值。,P=1 8 0 0 -10；x=1.2；Y=polyval(P,x) 执行结果如下： Y = 5.8976 y=2 3 4;5 4 1;Y=polyval(P,y) 执行结果如下： Y = 70 287 758 1615 758 -1,MATLAB 7.X程序设计,20/47,2 矩阵多项式求值,polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，要求以方阵x为自变量求多项式的值。,MATLAB 7.X程序设计,21/47,例4-54 当x取 时求 的值。,p=1 -5 0 8; a=2 3 5 ;5 8 1;7 6 9; polyvalm(p,a) 执行结果： ans = 552 690 562 548 686 538 1148 1422 1154,MATLAB 7.X程序设计,22/47,polyval(p,a) 执行结果： ans = -4 -10 8 8 200 4 106 44 332,MATLAB 7.X程序设计,23/47,例4-55 当x=8时求(x-1)(x-2) (x-3)(x-4) 的值。,p=poly(1 2 3 4)， polyvalm(p,8) 执行结果如下： p = 1 -10 35 -50 24 ans = 840,MATLAB 7.X程序设计,24/47,4.4.6 部分分式函数,R,P,K=residue(B,A) 功能：返回部分分式和余数。R为极点，P为零点 ，K为余数。,MATLAB 7.X程序设计,25/47,例4-56 求 的部分分式。,num=10*1 2 ; % numerator polynomial den=poly(-1;-3; -4);%denominator polynomial res, poles, k=residue(num, den),MATLAB 7.X程序设计,26/47,执行结果为： res = -6.6667 5.0000 1.6667 poles = -4.0000 -3.0000 -1.0000 k = ,MATLAB 7.X程序设计,27/47,4.4.7多项式积分,polyint (P,K) 返回多项式P的积分。K 为常数项（默认值为0 ）。,MATLAB 7.X程序设计,28/47,例4-57 求 。,p=3 -2 1;polyint(p,2) ans = 1 -1 1 2 polyint(p) % 常数为0 ans = 1 -1 1 0 由执行结果可知：,（为常数项，本例中为2和0）。,MATLAB 7.X程序设计,29/47,4.5插值和拟合,4.5.1数值插值 1 一维数值插值 Y1=interp1(X,Y,X1,method) 函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，描述数据点，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。,MATLAB 7.X程序设计,30/47,method是插值方法，可用的方法有： linear 默认方法，线性插值。 nearest 最邻近插值。 spline 三次样条插值。 cubic 三次插值，要求x的值等距离。 所有插值方法均要求x是单调的。 注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。,MATLAB 7.X程序设计,31/47,例4-58 求正弦、余弦函数在区间0 1内间 隔为0.25的各点的值。,x = 0:1; y1 = sin(x); y2=cos(x);xi = 0:.25:1; yi1 = interp1(x,y1,xi), yi2= interp1(x,y2,xi) %线性插值方法 yi1 = interp1(x,y1,xi,nearest), yi2= interp1(x,y2,xi,nearest) %最邻近插值,MATLAB 7.X程序设计,32/47,2 二维数值插值,Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method) 二维插值。其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。,MATLAB 7.X程序设计,33/47,4.5.2 数据拟合,polyfit函数求最小二乘拟合多项式的系数，调用格式为： P,S=polyfit(X,Y,m) 功能：根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的多项式系数向量。,MATLAB 7.X程序设计,34/47,例4-59已知 在1，3区间10个采样点的函数值，求 的4次拟合多项式p(x)。,MATLAB 7.X程序设计,35/47,例4-60 已知数表如下 x 9 10 11 12 f(x) 2.6093 1.7586 1.3979 1.9483 求4次拟合多项式f(x)，并计算f(10.5)的近似值。,MATLAB 7.X程序设计,36/47,4.6数值微分与积分,4.6.1差分,DX=diff(X) 计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。,DX=diff(X,n) 计算向量X的n阶向前差分，如 diff(X,2)=diff(diff(X)。,DX=diff(A,n,dim) 计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。,MATLAB 7.X程序设计,37/47,例4-61 求矩阵 的差分。,MATLAB 7.X程序设计,38/47,4.6.2数值积分 1数值积分基本原理 高等数学中求解定积分的数值方法有简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等，基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。,MATLAB 7.X程序设计,39/47,2 一重积分,I,n=quad(fname,a,b,tol,trace) 基于变步长辛普生法的求定积分。其中: fname 是被积函数。 a和b 分别是定积分的下限和上限。 tol 用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。 trace 控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,MATLAB 7.X程序设计,40/47,I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace) 基于牛顿柯特斯法求定积分。其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。,MATLAB 7.X程序设计,41/47,例4-62 求,（1）建立被积函数文件fesin.m function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); （2）调用数值积分函数quad求定积分 S,n=quad(fesin,0,3*pi) 执行结果如下： S = 0.9008 n = 77,MATLAB 7.X程序设计,42/47,例4-63 求,(1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8(fx,0,pi) 执行结果如下： I = 2.4674,MATLAB 7.X程序设计,43/47,例4-64 分别用quad函数和quad8函数求 的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。,MATLAB 7.X程序设计,44/47,以表格形式定义的函数的求定积分函数trapz的格式为： trapz(X,Y)