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一阶微分方程 习题课,基本概念,一阶方程,类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.线性方程,7.伯努利方程,可降阶方程,线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4,二阶常系数线性 方程解的结构,特征方程的根 及其对应项,f(x)的形式及其 特解形式,二阶方程,待定系数法,特征方程法,一、主要内容,1、四种标准类型的一阶微分方程的解法,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2) 齐次型方程,解法,作变量代换,一、主要内容,(3) 一阶线性微分方程,齐次,非齐次.,解法,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,解法 需经过变量代换化为线性微分方程,(4) 伯努利(Bernoulli)方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,齐次方程,可分离变量的方程,一阶线性非齐次,伯努利方程,两种基本类型,变量可分离,一阶线性,其余类型的方程可借助于变量代换或可转化成基本类型的方法,两种基本类型代表两种典型解法,分离变量法,常数变易法,变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非变量可分离,降阶,作变换,作变换,3、一阶方程解题程序,分离变量,解方程,解方程,齐次型,一阶线性,Bernoulli,二、典型例题,解,原式可化为,伯努利方程,例1,原式变为,一阶线性非齐方程,对应齐方通解为,利用常数变易法,代入非齐方程得,原方程的通解为,例2 解方程,经过整理，分离变量后积分，求得上式的通解为,解 此方程是齐次方程，通过作变换 y= ux ，将它化为可分离变 量方程,将 代入原方程，得到,解 设在 t 时刻物体的温度为 u，则由题意建立微分方程,例3 假定加热后的物体在空气中的冷却速度与问物体和空气的温 度差成正比，设比例系数为k，物体加热后的温度是100，空气温度是 20，试求物体温度关于时间的函数。,初始条件为t0，u100，这是可分离
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