自控chapter4-1(N1).ppt

第四章 线性系统的根轨迹法,4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本规则 4.3 广义根轨迹 4.4 线性系统性能的根轨迹分析法,本章主要内容,介绍了系统开环传递函数的极点、零点已知的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分析系统参量变化时对闭环极点位置的影响； 根据闭环特征方程得到相角条件和幅值条件由此推出绘制根轨迹的基本法则； 根轨迹绘制：常规根轨迹、参数根轨迹、零度根轨迹; 根轨迹法分析系统性能,掌握根轨迹的基本概念；正确理解开环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义； 掌握控制系统根轨迹的绘制方法； 正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图; 能够运用根轨迹法对控制系统进行分析； 明确闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系。,本章教学目的及要求,本章的重点、难点,重点：根轨迹的绘制，利用根轨迹分析控制系统 关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件 难点：广义根轨迹的绘制,本章学习方法,通过具体习题练习掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。,切记：没有时域分析法的基础，根轨迹法只是一个“空中楼阁”。离开时域分析法来谈根轨迹方法是没有意义的，所以在学习根轨迹方法的时候要注意联系时域分析法的知识和结果。事实上，根轨迹方法只是时域分析方法的一种辅助图解法。两者正好相辅相成。,第四章 线性系统的根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念,引 言,开环传递函数：,闭环传递函数：,误差传递函数：,特征方程：,接下来围绕这些传递函数讨论三大系统性能，引出用开环传递函数研究系统的思路。,根据前面的内容知道，不同的研究内容需要选择不同的传递函数。总结如下：,研究动态性能,研究稳态性能,研究稳定性,1.稳定性（开环传递函数中包含了稳定性的全部信息）,一、从时域分析法看系统的性能,控制系统的稳定性完全由闭环特征方程式1+G(s)H(s)=0的根来决定，即完全由闭环系统的极点来决定。从上式可以看出，这个特征方程是由开环传递函数构成的。,2.暂态性能（零极点分布图与暂态响应的关系）,所有闭环极点都在S平面的左半平面，系统是稳定的，各指数项都趋于零，稳态输出为A0。高阶系统稳定。,临界阻尼,零极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系,从零极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系图中可知：,极点距离虚轴越远，对应的指数项衰减越快，极点距离虚轴越近，对应的指数项幅值越小 距离虚轴最近得闭环极点确定着暂态响应得性能, 单位阶跃响应的暂态分量的形状（单调、振荡或衰减等）由闭环得极点来决定；, 暂态分量的系数由闭环系统的极点、零点和一个放大系数来决定。,结论：,也就是说：闭环系统的暂态性能由闭环系统的零极点分布再加上一个非常容易求得的放大系数来决定。,3.稳态性能,开环传递函数中包含了稳态性能所需的系统全部信息。,即闭环系统的稳态性能仅由开环传递函数的积分环节的个数和开环放大倍数（非常容易求得）来决定，同时也与输入信号的类型有关。,因误差传函仅由开环传函 来决定，即有,实质上是研究开环传递函数中原点处的极点个数和开环增益。,4.结论,开环传递函数中包含了分析系统的三大性能的全部信息。,稳定性和暂态性能与闭环零极点的分布密切相关；稳态性能与原点处开环极点及开环增益密切相关。,总之，系统的三大性能是由系统的开环零极点分布和闭环零极点分布外加一个非常容易求得的比例系数来决定。,因此，用开环零极点分布图和闭环零极点分布图也可以得到控制系统性能的全部信息。,闭环极点、开环传函开环零极点加上放大倍数，就可以形成新的出发点。,1.从数学模型的建立开环传函的特点,二、分析方法的思路,物理元件典型环节单元开环结构闭环结构系统数学模型,2.从开环传递函数出发来研究系统三大性能的优点,开环结构中的典型环节就是开环传递函数的零极点-很容易获得,可以直接可求稳态误差,各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，这一点对分析系统和改造系统非常有利；,本身就反映了系统的稳态性能（积分环节的个数和开环放大倍数）,同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）由简单的关系。,开环零极点+开环增益闭环零极点全部可能的分布图分析系统的三大类性能,美好愿望：,一、根轨迹定义（纯数学定义）： 设方程(注意这个方程的形式同特征方程的关系)。,式中， 为实常数，,为可变参数。,4.1 根轨迹法的基本概念,为该方程的n个根，每选择一个K*值，就有一组根与之对应，在自变量s平面上就会有一组极点与之对应，换一个K*值，会有一组新的极点与之对应，当K*在实数范围内连续变化时，对应的n个根就会在s平面内形成n条轨迹线，这些轨迹线就称为该方程的根轨迹。,设,1.当 时，特征方程根形成的轨迹称为常规根轨迹。 2.当 时，特征方程根形成的轨迹称为补根轨迹或余根轨迹。 3.当 时，特征方程根形成的轨迹称为完全根轨迹（简称全根轨迹），他是根轨迹与补根轨迹的总称。 4.当特征方程有一个以上的参数在变化时，方程的根轨迹形成族。称作广义根轨迹或根轨迹族。,并且：,例4-1 如图所示为一单位负反馈系统，试分析该系统的特征方程的根随系统参数的变化在s平面上全部可能的分布情况。,系统的数学模型：,开环传函：,开环极点：,闭环传函：,特征方程：,特征根（闭环极点）:,讨论：,2.特征根随K* 变化时的根轨迹图,（等于两个开环极点）,(两根重合于1处),（即0K*1/2，两根为实根）,(两根为共轭复数根，其实部为-1),如图4-1所示,逐点描迹法：,以Kr=K*为参数的数学曲线可以根据计算的数据表绘出：,图4-1 例4-1的根轨迹,s,2,1,注意：,K*一变，一组根变；,K*一停，一组根停；,一组根对应同一个K*；,2,1,总结：,有两个闭环极点，有2条根轨迹。,根轨迹是从开环极点出发点。,通过选择增益K*，可使闭环极点落 在根轨迹的任何位置上。,如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可以计算该点的K*值，实现设计要求（见例4-1-2）。,这是个？阶系统，,2,根轨迹上的点与K*值一一对应，根轨迹是连续的。,例4-2,对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统的阻尼系数=0.5，确定系统闭环特征根。,根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。,解：,阻尼角计算如下：,阻尼系数为0.5时的射线与根轨迹交点处的K*值可以计算出来。,与（4-1）式比较得：,即K*=2。,获得系统的根轨迹有两个方法：,图解法：利用Evans总结的 规律画出根轨迹。 近似,简单，尤其适合高阶系统,解析法：对闭环特征方程解 析求解，逐点描绘。 精确，工作量大,动态性能： 当0K*1/2，所有闭环极点都在实轴上，系统为过阻尼，单位阶跃响应为非周期过程。 当K*=1/2时，两个闭环极点重合在实轴上，系统为临界阻尼，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度加快。 当K*1/2时，闭环极点为复数，系统欠阻尼，单位阶跃响应为振荡过程，且超调量随着K的增大而增大，但调节时间变换不明显。,利用根轨迹图，可以分析系统的各种性能。对上述的例子,稳定性：当K*从0变化时，根轨迹不会越过虚轴进入右半平面，所以对于所有的K*值，系统都是稳定的。,稳态性能：开环系统在原点有一个极点，所以系统为I型，则开环增益K*就是稳态速度误差系数Kv。如果知道闭环极点在根轨迹上的位置，即可求得K*值，从而计算出系统稳态误差。,二、闭环零极点和开环零极点之间的关系,前向通路传递函数的一般表达式：,反馈通路传递函数的一般表达式：,开环传递函数的一般形式：,二、闭环零极点和开环零极点之间的关系,闭环传递函数的一般表达式：,闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根轨迹增益，即Krm=KrG，单位反馈时，开环系统根轨迹增益等于闭环系统根轨迹增益，即Krm=Kr。,闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传函的极点所组成；对单位反馈来说，闭环零点就是开环零点。,闭环系统的极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。,三、开环增益和开环根增益,开环传递函数的两种一般形式：,典型环节形式,根轨迹形式,开环增益(无积分环节情况),开环根增益,注意：定义起源于传递函数的不同表达形式。,开环系统的根轨迹增益Kr与开环系统的增益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点和极点有关。,换言之，根轨迹增益（或根轨迹放大系数）是系统的开环传递函数的分子分母的最高阶次项的系数为1的比例因子。,根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点，并根据闭环极点的分布对系统性能进行分析。一旦闭环极点确定，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由上式直接得到。在已知闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接求解。,四、根轨迹方程特征方程,闭环传递函数：,闭环特征方程为：,它们满足：,G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量：,绘制根轨迹必须满足的基本条件：,（相角公式：积的相角等于相角的和， 商的相角等于相角的差）,幅值条件,相角条件,（积的模等于模的积，商的模等于模的商）,1. 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益值K*的大小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即相角条件是绘制根轨迹的主要依据。,综上分析，可以得到如下结论：,2. 绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益K*值的大小有关。即Kr值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。,3.在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。,4.由于相角条件和幅值条件只与系统