行列式的性质与计算论文.doc

目 录摘 要 1 abstract 1 引 言 2 1 行列式的定义和性质 2 1.1 行列式的定义 2 1.1.1 排列 2 1.1.2 行列式的定义 3 1.2 行列式的相关性质 3 2 行列式的计算方法 3 2.1行列式计算的基本方法 3 2.1.1利用行列式的性质计算 4 2.1.2 三角形法 4 2.1.3代数余子式法 5 2.1.4 加边法6 2.1.5降阶法 8 2.1.6 分块法 9 2.2行列式计算的特殊方法 10 2.2.1递推公式法 10 2.2.2数学归纳法11 2.2.3 分拆法 12 3 小结 13 参考文献 14 成果声明 15 致 谢 16 浅谈行列式的相关性质及计算方法张祝波摘要：本文在归纳行列式性质的基础上，通过案例分析总结了计算行列式的几种常用方法. 这些方法包括三角形法、代数余子式法、加边法、降阶法、数学归纳法和分拆法等. 在介绍各种计算方法的同时，也给出了如何根据行列式特征，恰当选择相应计算方法的技巧.关键词: 行列式性质 行列式计算 案例分析on the determinant of the nature and common solutionzhang zhuboabstract: this paper summarized the determinant in the nature of the foundation, through the case analysis summarizes several common methods of calculating the determinant. these include triangle method、more than algebra son type method、add edge method、depression of order、mathematical induction and split method. introduced the various calculation methods at the same time, also given how according to the determinant features, the calculation method of appropriate choice corresponding skills.keywords: determinant properties determinant calculation case analysis1引 言在中学数学和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法. 在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到含多个未知量的线性方程组. 为了解决这些具体的问题，数学家们经过长期的探索，莱布尼茨和关孝于十七世纪晚期对行列式概念有了最初的认识，它最早出现在解线性方程组中. 十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究. 十九世纪以后，行列式理论得到进一步发展和完善. 在引入矩阵概念后，更多有关行列式的性质被发现，其应用领域变得更广. 目前，人们在线性自同态和矢量组中也引入了行列式的定义1-3. 1 行列式的定义和性质1.1 行列式的定义1.1.1 排列在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么他们的排列就称为一个逆序. 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.例如排列2541，含有逆序21、54、41和51，逆序数为4，故排列2541为偶排列.1.1.2 行列式的定义定义 阶行列式 (1)等于所有取自不同列的个元素的乘积的代数和.这一定义也可以写成： (2)1.2 行列式的相关性质4,5性质1 行列式与它的转置行列式相等.性质2 交换行列式的两行（列），行列式改变符号.推 论 若一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式为零.性质3 把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数,等于数乘这个行列式.性质4 一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边.性质5 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0.性质6 行列式中若有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式为零.性质7 若行列式的第行元素都可以表示成，则.性质8 行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变.2 行列式的计算方法为了系统把握行列式的计算方法，下面我们通过案例对行列式的一些计算方法进行归纳和总结.2.1 行列式计算的基本方法行列式基本的解法包括：三角形法、代数余子式法、加边法、降阶法、范德蒙行列式法等6-8.2.1.1利用行列式的性质计算行列式例1 一个阶行列式的元素满足，则称为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由知，因此, 可表示为. 由行列式的性质知,.由于为奇数，所以，即.2.1.2 三角形法三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式进行计算的一种方法，它是计算行列式的常用方法之一.例2 计算如下行列式的值.分析 若直接按定义计算该行列式，计算十分繁琐，利用行列式的性质将其化为三角形行列式进行计算，要方便得多.解：2.1.3代数余子式法在一个阶行列式中，把所在的行与列划去后，剩下的个元素按照原来的次序组成的一个阶行列式，称为元的余子式，带上符号称为的代数余子式，记作.定理 .例3 计算四阶行列式.证明：按第一行展开，有对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开可得, .2.1.4 加边法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法. 这种方法要求加边后必须是保值的，而且要使所得的高阶行列式较易计算. 加边法的一般做法是：.注：特殊情况取或.利用加边法求行列式，关键是观察每行或每列是否有相同的因子.例4 计算阶行列式.分析 若行列式中主对角线的元素都减去1，则第行含有相同因子.从而就可考虑用加边法.解：结论 若行列式某行或某列元素有相同的因子，就可以考虑使用加边法.例5 计算4阶行列式：.解： 若，则或，故.下设，加边后得 故无论为何值，均有.2.1.5 降阶法设为阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有或 其中为中的元素的代数余子式.按行（列）展开法可以将一个阶行列式化为个阶行列式计算.若继续使用按行（列）展开法，可以将阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法.在应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开.例6 计算20阶行列式 .分析这个行列式中没有一个零元素，则利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果.注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：2.1.6 分块法 、.其中是级方阵，是级方阵.例7 计算级行列式.解：自下而上，每一行减去相邻的上一行，然后加边得 2.2 行列式计算的特殊方法 对一些复杂的行列式，我们需根据行列式的特点，选择一些特殊方法进行求解. 下面介绍一些计算行列式的特殊方法9-11.2.2.1递推公式法 递推法是根据行列式的构造特点，建立起与的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值，有时也可以找到与和的递推关系，最后利用得到的值.用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法.例8 用递推关系求行列式：.解：将行列式按照2.1.5降阶展开即而，所以，带入上述递推公式，可得.2.2.2数学归纳法 数学归纳法是证明（计算）行列式的常用方法. 首先建立递推关系，当递推关系仅涉及相邻两阶行列式时，采用归纳法. 但是数学归纳法一般是事先知道结论，然后归纳证明. 例9 证明：.证明：用数学归纳法： 当=2时，命题成立.假设对于阶行列式命题成立，即.将第1列展开所以对于阶行列式命题成立.2.2.3 分拆法由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法.例10 要求下列行列式的值，设阶行列式：.且满足对任意数，求阶行列式的值.分析 该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是，故可用拆行（列）法计算. 解：由，且，易知.因此，.3 小结我们介绍了计算行列式的几种方法，计算行列式的方法很多，也较灵活，还有一些方法和技巧由于篇幅所限不再列举.行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，本文仅针对实数实数域讨论行列式的计算方法和计算技巧，当涉及复数域时，还可利用laplace变换和欧拉公式等工具简化行列式的计算。计算一个行列式常常有多种方法，有时计算一个行列式需要几种方法配合使用.我们应根据行列式的特点，灵活选用方法.参考文献:1张贤科，许甫华.高等代数m.清华大学出版社，19982张禾瑞.高等代数m.北京：高等教育出版社，1989.73 王品超.高等代数新方法m.山东教育出版社，19894卢刚，冯翠莲.线性代数m.北京大学出版社，2006.65苏醒侨，卢陈辉.线性代数m.冶金工业出版社，2004.96万勇，李兵.线性代数m.上海：复旦大学出版社，2006.87林华铁.线性代数.天津大学出版社m.1994.88樊恽，郑延履，刘合国.线性代数学习指导m.北京:科学出版社，2003.29毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳m.武汉：华中科技大学出版社，2000.310宴林，范德蒙.行列式的应用j.文山师范高等专科学校学报，2001.1311david c.lay，刘深泉等译线性代数及其应用m.机械工业出版社，2005.0814成果声明 本人声明所提交的学位论文是我在导师的指导下进行研究工作所取得的研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或他人已申请学位或其它用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。本学位论文若有不实或者侵犯他人权利的，本人愿意承担一切相关法律责任。作者签名： 日期： 年 月 日17致 谢本文是在储昌木老师的指导下完成的，他治学严谨，学识渊博，视野广阔，为我营造了一种良好的学术氛围. 在第一次交初稿后，他为我仔细的查阅，不耐其烦的给我讲解其中的错误，指导我在论文的深度和广度反面不断加强，纠正了论文的不规范格式.置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立