2018版高考数学复习第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法课件文北师大版.pptx

7.2 一元二次不等式及其解法,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.“三个二次”的关系,知识梳理,x|xx2,x|xR,x|x1 xx2,(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法,2.常用结论,x|xa,x|xa,x|axb,口诀：大于取两边，小于取中间.,(1) 0(0(0). (2) 0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0.( ) (2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.( ),(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ) (5)若二次函数yax2bxc的图像开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集.( ),1.(教材改编)不等式x23x100的解集是 A.(2,5) B.(5，) C.(，2) D.(，2)(5，),考点自测,答案,解析,解方程x23x100得x12，x25， 由于yx23x10的图像开口向上， 所以x23x100的解集为(，2)(5，).,2.设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN等于 A.(0,4 B.0,4) C.1,0) D.(1,0,答案,解析,Mx|x23x40x|1x4， MN0,4).,3.(2016梧州模拟)不等式 1的解集是 A.(，1)(1，) B.(1，) C.(，1) D.(1,1),(x1)(x1)0，x1或x1.,答案,解析,4.(教材改编)若关于x的不等式ax2bx20的解集是 ，则ab_.,答案,解析,14,5.不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,(，44，),x2ax40的解集不是空集， x2ax40一定有解. a24140，即a216，a4或a4.,题型分类 深度剖析,题型一 一元二次不等式的求解,例1 求不等式2x2x30的解集.,解答,命题点1 不含参数的不等式,化2x2x30，,例2 解关于x的不等式：x2(a1)xa0.,解答,命题点2 含参数的不等式,由x2(a1)xa0，得(xa)(x1)0， x1a，x21， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1.,引申探究,将原不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集.,解答,若a0，原不等式等价于x11.,当a0时，解集为x|x1；,当a1时，解集为；,思维升华,含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.,跟踪训练1 解下列不等式： (1)3x22x80；,解答,原不等式可化为3x22x80， 即(3x4)(x2)0.,(2)求不等式12x2axa2(aR)的解集.,解答,12x2axa2，12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，,当a0时，x20，解集为x|xR且x0；,当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；,题型二 一元二次不等式恒成立问题,命题点1 在R上的恒成立问题,例3 (1)若一元二次不等式2kx2kx 0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 A.(3,0 B.3,0) C.3,0 D.(3,0),答案,解析,k0，,(2)设a为常数，对于任意xR，ax2ax10，则a的取值范围是 A.(0,4) B.0,4) C.(0，) D.(，4),答案,解析,命题点2 在给定区间上的恒成立问题,例4 设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.,解答,要使f(x)m5在x1,3上恒成立，,有以下两种方法：,当m0时，g(x)在1,3上是增加的， 所以g(x)maxg(3)7m60，,当m0时，60恒成立；,当m0时，g(x)在1,3上是减少的， 所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.,命题点3 给定参数范围的恒成立问题,例5 对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围.,解答,由f(x)x2(m4)x42m (x2)mx24x4， 令g(m)(x2)mx24x4. 由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，,解得x3. 故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零.,思维升华,(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.,跟踪训练2 (1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.,答案,解析,作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，,(2)已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.,解答,不等式mx22xm10恒成立， 即函数f(x)mx22xm1的图像全部在x轴下方.,当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx22xm10无解，,综上可知，不存在这样的m.,例6 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是100(5x1 )元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；,解答,题型三 一元二次不等式的应用,即5x214x30， 又1x10，可解得3x10. 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10.,(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.,解答,设利润为y元，则,故当x6时，ymax457 500元. 即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.,思维升华,求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系. (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.,跟踪训练3 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为 A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间,答案,解析,设销售价定为每件x元，利润为y， 则y(x8)10010(x10)， 依题意有(x8)10010(x10)320， 即x228x1920，解得12x16， 所以每件销售价应为12元到16元之间.,典例 (1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_.,转化与化归思想在不等式中的应用,思想与方法系列14,函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.,9,a|a3,答案,解析,思想方法指导,(1)由题意知f(x)x2axb,f(x)的值域为0，)，,即x22xa0恒成立. 即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立. 而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上是减少的， g(x)maxg(1)3，故a3. 实数a的取值范围是a|a3.,课时作业,1.不等式(x1)(2x)0的解集为 A.x|1x2 B.x|x1或x2 C.x|12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0， 所以不等式的解集为x|1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.x|21,答案,解析,x(x2)0的解集为x|x0， 又1x1，0x1，即x|0x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是 A.a|0a4 B.a|0a4 C.a|0a4 D.a|0a4,答案,解析,由题意知a0时，满足条件.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,A.(3,1)(3，) B.(3,1)(2，) C.(1,1)(3，) D.(，3)(1,3),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.已知不等式x22x30的解集为A，不等式x2x60的解集为B，不等式x2axb0的解集为AB，那么ab等于 A.3 B.1 C.1 D.3,答案,解析,由题意，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2， 则不等式x2axb0的解集为x|1x2. 由根与系数的关系可知，a1，b2， 所以ab3，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,6.已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是,答案,解析,由题意得f(x)0的两个解是x11，x23且a3或2x1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解得a6，b5，不等式x2bxa0， 即x25x60，解集为(2,3).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*8.已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，当x1,1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是 A.12 C.b2 D.不能确定,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,由f(1x)f(1x)知f(x)图像的对称轴为直线x1，,由f(x)的图像可知f(x)在1,1上是增加的. x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2， 令b2b20，解得b2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)1，f(2) ，则实数a的取值范围是_.,答案,解析,f(x3)f(x)， f(2)f(13)f(1)f(1)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,*11.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x2)5的解集是_.,答案,解析,x|7x3,令x0，x0时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，x0时，f(x)x24x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,得5x0，即f(x)5的解集为(5,5). 由于f(x)向左平移两个单位即得f(x2)， 故f(x2)5的解集为x|7x3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集；,解答,由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn). 当m1，n2时，不等式F(x)0， 即a(x1)(x2)0. 当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2； 当a0的解集为x|1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12