多属性效用理论已改.ppt

Decision Theory and Methods,决策理论与方法,国防科学技术大学 信息系统与管理学院 2012年3月7日 星期三,2,主讲教员：邢立宁 讲师 办公地点：科大1号院信息系统与管理学院124室； 电话：75857(O), 手机 Email: xinglining04gfkd.mtn.,辅助教员：姚锋 讲师 办公地点：科大1号院信息系统与管理学院124室； 电话：75857(O), 手机 Email: yaofenggfkd.mtn.,教员信息,3,第六讲：多属性效用函数,4,1、优先序 2、多属性价值函数 3、多属性效用函数,内容提纲,5,ab (即aPb)读作“a优于b”(a is preferred to b)。：严格序(传递性、非对称性) ab (即aRb) “a不劣于b”。：弱序 (连通性、传递性和一致性) ab (即aIb) “a无差别于b” (I: indifference)。：无差异 (传递性、对称性和自反性),1、优先序,令R是定义在方案集A上的二元关系，则 （1）R在A上是连通的，当仅当对任何x，yA，xRy或者yRx，或者两者同时成立 （2）R在A上是传递的，当且仅当对任何x,y,z A,若xRy，且yRx，则xRz。 （3）R在A上是自反的，当且仅当对所有x A，由xRx。 （4）R在A上是非自反的，当且仅当对所有的x A，xRx不成立。 （5）R在A上是负向传递的，当且仅当对任何x，y，z A，若非xRy且非yRz则非xRz。 （6）R在A上是拟传递的，当且仅当对任何x，y，z A，若（xRy且非yRx）且（yRz且非zRy），则（xRz且非zRx）。 （7）R在A上是对称的，当且仅当对A中的任何x，y A若xRy则yRx。,二元关系的性质,（8）R在A上是非对称的，当且仅当对A中任何x，y若xRy，则必有非yRz （9）R在A上是反对称的，当且仅当对A中任何x，y，若xRy且yRx，则必有x=y。 （10）R在A上是非循环的，当且仅当A中不存在x1， x2xn,使x1 Rx2，且x2Rx3xn-1Rxn且xnRx1。或者R在A上非循环的，当且仅当对A中任何x1，x2xn，x1Rx2且x2Rx3且且xn-1Rxn推不出xnRx1,二元关系的性质,常见的一些重要次序关系有： （1）拟序：具有传递性和自反性的二元关系； （2）弱序：具有传递性，自反性和连通性； （3）偏序：具有传递性自反性和反对自反性的二元关系； （4）线性序：传递且非自反的二元关系； （5）严格偏序：传递且非自反的二元关系； （6）严格序（强序）传递、连通、非自反的二元关系。,二元关系的性质,大于关系,大于关系,大于等于,约等于,等于,大小关系,二元关系的性质,二元关系的性质,二元关系的性质,基本概念(无差异类、偏好独立、边际偏好序),定义：无差异类 任何对象aA的无差异类I（a）是A中所有与a无差异的对象的结合，即： 无差异类I（a）有如下性质：,2、多属性价值函数,在购买专门用于收听音乐的调频收音机时，通常只有两个重要的因素，一个是价格x，一个是信噪比y。几乎所有人都会按以下规则购买这种收音机： （1）对任意给定的价格，信噪比高比较好； （2）对任意给定的信噪比，价格低的比较好。 这就是说，对决策人而言，对价格的偏好独立于对信噪比的偏好，反之亦然。这就是偏好独立（preferential indepenence） 定义：偏好独立与相互偏好独立 设X、Y为属性，若对 ，当 有 则称属性X偏好独立于属性Y。 若 则称属性Y偏好独立于属性X。 若上面两个同时成立，则称属性X与Y相互独立。,菜和汤的组合不满足相互偏好独立。,课堂讨论,当偏好独立性成立时，可以定义单个属性的边际偏好序（marginal preference order）；属性X偏好独立于属性Y时，在属性X上的边际偏好序为： 同样的，属性Y偏好独立与属性X时，可以定义在属性Y上的边际偏好序为： 需要注意的是： （1）在偏好独立性不成立时，不能定义边际偏好序。 （2）当 是定义在 上的弱序时， 与 也是弱序。,课堂讨论,17,两个属性的价值函数(存在性定理、加性条件),定理：设 是定义在方案集A上的弱序，A中只有可数个无差异类，则存在实值的序数价值函数v， 更准确的，,2、多属性价值函数,18,方案集和属性值集A为连续型时价值函数的存在性定理如下： 定理： ， 是A上的弱序，若 则存在定义在A上的实值函数v 满足： 定理的证明参见文献（Fishburn 1970）或者（Luce 1965） 定理中的条件（1）为单调性 （monotonicity）即优势原则（dominance）：只要某属性值增加，偏好也增加；条件（2）为偏好空间的连续性（continity）即阿基米德性。,19,某企业拟在若干产品中选一种投产，每种产品的生产周期均为两年。现仅考虑两种属性，第一年的现金收益X和第二年的现金收益Y。设现金收益可以精确预计，企业偏好是： 设有下列产品对 （1）（0.100），（100，100） （2）（0，400），（200，200） （3）（100，500），（200，300） （4）（0，500），（150，200） 每个产品中只能生产其中之一，企业应该作何种选择，为什么？,课堂讨论,20,加性条件,21,22,23,定理： 设 ，且存在与A上弱序一致的价值函数v（x，y），则当且仅当， （1）属性X与Y相互偏好独立， （2）满足Thomsen条件，即 存在实值价值函数v（x，y）=v1（x）+v2（y）使下面的式成立。 定理的证明过程参照文献（Krantz 1971）.,24,1 效用独立 例：有四个抽奖 在抽奖 和 中，第二年的收入均为确定性的150； 和 第二年收入均为确定性的250，而且有 如果决策人对四个抽奖的偏好只取决于第一年的风险型收入而与第二年的确定性收入无关，则应该有 如果连个抽奖有公共的确定性的Y的值而属性X中的值不同，决策人对它们的偏好与Y的取值无关，则称X效用独立于Y。,3、多属性效用函数,25,26,27,30,例：某人拟从甲地到乙地。他考虑两个因素，一是费用c，一是旅途花费的时间t；假设： （1）他对c、t这两个属性是相互效用独立的； （2）费用及时间的边际效用都是线性的，且边际效用值随c、t的增加而减少； （3）他认为属性向量（c，t）的下列无差异对成立： 1.求此人的效用函数； 2.若此人面临3种选择a）乘火车，3个小时，30元；b）自己开车，有0.75的机会4小时到达花费10元，有0.25的机会6小时到达花费12元；c）先花费2元乘公交到达某地搭便车，有0.25的机会5小时到达，有0.5的机会6小时到达，有0.25的机会8小时到达，求他应作何种选择。,31,32,33,设决策人今后3年的收入分别为x，y，z（万元），以x、y、z、为属性的效用函数是线性的，即u（x，y，z）=ax+by+c。通过对话发现他认为下列无差异关系成立： （0.25,(1,0,0);0.5,(1,1,0);0.25,(1,2,2)(0.5,(2,0,0);0.5,(0.8.1.1)） (0.5,(1,1,1);0.5,(1,0,1)(0.25,(0,1,2);0.75,(1,0.5,1) 作为必要假设后求此人的效用函数。,作业,34,某人想去度假，他根据两人属性来确定休假的优劣，x表是每天的日照时数；y表示每天的费用。决策分析人在与他讨论后确定； （1）他的偏好是相互效用独立的； （2）x的边际效用是线