世纪金榜第十三章第二节.ppt

第二节 圆周角定理与圆的切线,1.圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的_. 推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角_. 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于_. 90的圆周角所对的弧为_.,度数的一半,相等,相等,90,半圆(或弦为直径),2.切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆 的_. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_. 推论：经过圆心且与切线垂直的直线必经过_. 经过切点且与切线垂直的直线必经过_. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长_.,切线,半径,切点,圆心,相等,3.弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的_. 推论：同弧(或等弧)上的弦切角_，同弧(或等弧)上的弦 切角与圆周角_.,一半,相等,相等,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)经过半径端点且垂直于半径的直线一定是圆的切线.( ) (2)如果两条弧长相等，那么它们所对的圆心角一定相 等.( ) (3)相等的圆周角所对的弧也一定相等.( ) (4)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.( ),【解析】(1)错误.根据切线判定定理可知，错误. (2)错误.必须说明在“同圆或等圆”中，所以错误. (3)错误.必须说明在“同圆或等圆”中，所以错误. (4)错误.弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，所夹的弧的度数等于所对圆心角的度数，即所夹弧的度数等于弦切角的度数的2倍. 答案：(1) (2) (3) (4),考向 1 圆周角定理的应用 【典例1】(2012江苏高考)如图，AB 是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧 的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE求证：E=C.,【思路点拨】欲证E=C，需寻找一个中间量，因B和E是同弧所对圆周角，相等；又由AB是圆O的直径和BD=DC可知AD是线段BC的中垂线，从而可得到B=C，即B为中间量. 【规范解答】连结AD.AB是圆O的直径， ADB=90，ADBD. 又BD=DC，AD是线段BC的中垂线， AB=AC，B=C. 又D，E为圆上位于AB异侧的两点， B=E，E=C.,【互动探究】当已知条件中含有“中点”条件时，可联想到“中线”“中位线”等性质，上述证法是利用了等腰三角形中的“三线合一”，如从中位线的角度考虑应如何证明？ 【证明】连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC,于是ODB=C. 因为OBOD，所以ODB=B，于是C=B， 又E=B，故E=C.,【拓展提升】 1.圆周角定理的应用 利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题,在解决此类问题时,主要分析圆周角、圆心角、弧之间的关系,经常与三角形联系在一起进行考查. 2.直径的应用 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，因此在圆中，通常遇直径则利用直径所对的圆周角是直角，转化为直角三角形解决问题.,【变式备选】如图，已知，半圆的直 径AB6 cm，CD是半圆上长为2 cm的 弦，当弦CD在半圆上滑动时，BC与AD 相交于E，AC和BD延长线相交于P.试 证：PDEB且P的度数是定值.,【解析】方法一：AB为直径，PCBADB90.又PBCEBD， PCBEDB，PDEB. ECDEAB，EDCEBA, CEDAEB, 从而 说明P的度数是定值.,方法二：根据条件可证PCE+PDE180， 从而P,C,E,D四点共圆，也可得PDEB, 利用圆内接四边形的性质可直接证明PCDPBA,从而得 说明P的度数是定值.,考向 2 切线的性质与判定的应用 【典例2】如图，已知AB是O的直径， BC为O的切线，切点为B，OC平行于 弦AD，OAr. (1)求证：CD是O的切线. (2)求ADOC的值. (3)若 求CD的长.,【思路点拨】(1)要证CD是O的切线，由于D在O上，所以只 需连结OD，证ODDC即可. (2)求ADOC的值，一般是利用相似把ADOC转化为其他线段 长的乘积，若其他两条线段长的乘积能求出来，则可完成. (3)由ADOC的值， 可求出OC，根据勾股定理即可 求出CD.,【规范解答】(1)连结OD， OCAD，1=2, A=3. 又OA=OD,1=A, 2=3. OD=OB,OC=OC, OCDOCB. BC为O的切线, ODC=OBC=90, CD是O的切线.,(2)连结BD,AB为O的直径，ADB90. OBC90，ADBOBC. 又A3，ADBOBC, ADOC=OBAB=2r2. (3)由(2)知ADOC=2r2，又知 AD，OC是关于x的方程 的两根， 解此方程得 OCr，OC4r, ,【拓展提升】圆的切线判定的三种方法 (1)根据直线与圆有惟一公共点来判断,实为数形结合思想. (2)已知该直线经过圆周上一点时，只要将此点与圆心连结，证此半径垂直于直线，此法实为判定定理. (3)未知直线是否经过圆周上一点时，证圆心到直线的距离等于半径，此法的理论依据是直线与圆的位置关系的几何定义.,【变式训练】已知，如图，ABC内接于O，点D在OC的延长线上， CAD=30. (1)求证：AD是O的切线. (2)若ODAB，BC=5，求AD的长.,【解析】(1)如图，连结OA， 因为 所以B=30， 故O=60. 又OA=OC， 所以ACO是等边三角形, 故OAC=60.因为CAD=30， 所以OAD=90,故AD是O的切线.,(2)ODAB，OC垂直平分AB，则 AC=BC=5，OA=5. 在OAD中，OAD=90， 所以,考向 3 弦切角定理的应用 【典例3】(2012辽宁高考)如图，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E. 证明：(1)ACBD=ABAD.(2)AC=AE.,【思路点拨】根据弦切角等于圆周角可证三角形相似，从而得 对应边成比例，证明第(1)题;运用三角形相似及比例的性质证 明第(2)题. 【规范解答】(1)由AC与圆O相切于点A，得CAB=ADB;同 理，ACB=DAB， 从而ACBDAB，所以 ACBD=ABAD.,(2)由AD与圆O相切于点A，得AED=BAD. 又ADE=BDA,从而EADABD， 所以 AEBD=ABAD， 又由(1)知，ACBD=ABAD， 所以ACBD=AEBDAC=AE.,【互动探究】本题第(1)题的结论提示了考生，利用比例线段证第(2)题，如无此暗示，连结CE，则线段AE和AC在ACE中，能否利用“等角对等边”的方法证之？ 【解析】由条件可得BAD=AEB，CEB=CAB=ADB，从而ABE=BAD+ADB=AEB+CEB=AEC， 又ABE=ACE，故AEC=ACE，故AC=AE.,【拓展提升】 圆周角、圆心角、弦切角的关系 弦切角定理能得到一个重要推论:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.从而“圆周角、圆心角、弦切角”之间存在着密切的关系,所以通常利用这种关系,证两三角形相似,计算角的度数或由比例线段计算边长. 【提醒】弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，这一结论在实际应用中比定理本身更为常用.,【变式备选】如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：CB=CE.,【证明】连结AC，BE，在DC延长线上取一点F,因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以ACB=90，即BCF+ACD=90.又因为ADl，所以DAC+ACD=90,所以BCF=DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以CEB=BCF.又因为DAC=CBE，所以CBE=CEB，所以CE=CB.,1.(2012新课标全国卷)如图，D， E分别为ABC边AB，AC的中点，直 线DE交ABC的外接圆于F，G两点， 若CFAB，证明： (1)CD=BC. (2)BCDGBD.,【证明】(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC. 又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF=BD=AD.又CFAD，连结AF，所以ADCF是平行四边形，故CDAF，因为CFAB，所以BC=AF，故CD=BC. (2)因为FGBC，故GB=CF.由(1)可知BD=CF，所以GB=BD. 而DGB=EFC=DBC，故BCDGBD.,2.(2013南通模拟)如图，已知AD为 圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A， 直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧 AC相交于M，连结DC，AB=10，AC=12. (1)求证：BADC=GCAD. (2)求BM.,【解析】(1)因为ACOB，所以AGB=90. 又AD是圆O的直径，所以DCA=90. 又因为BAG=ADC， 所以RtAGBRtDCA，所以 又因为OGAC，所以GC=AG， 所以 即BADC=GCAD.,(2)因为AC=12，所以AG=6. 因为AB=10，所以 由(1)知，RtAGBRtDCA，所以 所以AD=15，即圆的直径2r=15. 又因为AB2=BM(BM+2r)， 即BM2+15BM-100=0， 解得BM=5或BM=-20(舍去).即BM的长为5.,3.如图，已知ABC中，ACBC， CAB(定值)，O的圆心O在 AB上，并分别与AC，BC相切于点P， Q. (1)求POQ. (2)设D是CA延长线上的一个动点，DE与O相切于点N，点E在CB的延长线上，试判断DOE的大小是否保持不变，并说明理由.,【解析】(1)连结OC,OP,OQ,AC,BC分别切O于P，Q，OPCA，OQCB， CACB，ACO=BCO，COAB， COPCAB，COQCBA. CAB，POQCOPCOQ2.,(2)DOE保持不变.由CD，DE，CE都与O相切得：ODE CDE，OED CED， DOE180(ODEOED)180 180- 180(1802)180-. DOE为定值.,4.(2013徐州模拟)如图，在RtABC 中，C=90，BE平分ABC交AC于点 E，点D在AB上，DEEB. (1)求证：AC是BDE的外接圆的切线. (2)若 AE=6，求EC的长.,【解析】(1)取BD的中点O，连结OE. BE平分ABC，CBE=OBE. 又OB=OE，OBE=BEO， CBE=BEO，BCOE. C=90，OEAC， AC是BDE的外接圆的切线.,(2)设O的半径为r，则在AOE中， OA=2OE，A=30，AOE=60， CBE=OBE=30， ,5.如图，ABC内接于O，AB=AC， 直线MN切O于点C，弦BDMN，AC 与BD相交于点E. (1)求证：ABEACD. (2)若AB=6，BC=4，求AE.,【解析】(1)在ABE和ACD中，AB=AC， ABE=ACD. 又BAE=EDC，BDMN，EDC=DCN. 直线MN是圆O的切线，DCN=CAD， BAE=CAD，ABEACD.,(2)BDMN,EBC=BCM，BCM=BDC，EBC=BDC=BAC，BC=CD=4.又BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB，BC=BE=4. 设AE=x，易证ABEDCE. 又AEEC=BEED，EC=6-x， ,6.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的圆O的切线相交于点D，E为CH中点，连结AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. (1)求证：F是BD的中点. (2)求证：CG是O的切线,【证明】(1)CHAB，DBAB，AEHAFB， ACEADF, HEEC，BFFD,F是BD中点. (2)连结CB，OC，AB是直径，ACB90, BCD为直角三角形，BCF=CBF=90CBA=CAB=ACO,OCF=90， CG是O的切线.,7.如图，O1与O2交于A，B两点，点O1在O2上，O2的弦O1C交AB，O1于D，E. 求证： (2)E为ABC的内心.,【证明】(1)连结O1B， 由O1AO1B可得O1ADO1CA. 又AO1