非线性控制系统分析《自动控制原理》.ppt

第七章 非线性控制系统分析,7-1非线性控制系统概述 以前讨论的自动控制理论, 都是针对线性控制系统的 所以也叫线性自动控制理论. 所谓线性控制系统是指系统 中所有环节的输入输出都呈线性关系, 若有的环节所具有 的非线性特性不很强烈, 且可对其线性化, 则也可当作线 性环节处理. 但如此处理后, 应使对系统的分析和设计的 精度满足工程上的要求. 系统中只要有一个环节的非线性 特性很强烈, 对其线性化将影响对系统分析和设计的精度 或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化, 则只能用 非线性理论对系统进行分析和设计. 在工程实际中, 大多数被控对象都具有非线性特性, 因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义. 在某 些情况下, 在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素 反而有利于控制质量的提高.,在系统中, 只要有一个环节或元件有非线性特性,则整个系统就叫非线性系统, 如下图所示.,上图中, 大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节,表示非线性系统中线性部分的传递函数.,非线性的特性是各种各样的, 教材图及 表给出了一些工程上常见的典型非线性特性. 7-2非线性控制系统的特征 非线性控制系统有如下两个基本特征: (1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程 (2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参,数有关, 还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小,有关. 由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分 方程, 而从数学上讲, 非线性微分方程没有一个统一的 解法, 再由于第二个特征, 对非线性控制系统也没有一 个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待. 本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描 述函数法, 是在非线性控制系统满足一定的条件下, 将 线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的, 因 此具有一定的局限性.,7-3相平面法,1. 相平面法的基本概念 所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此 法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的 非线性系统. 设一二阶系统可用下面常微分方程描述:,上面微分方程的解可用,对,的关系曲线表示, 也可用,与,的关系曲线表示, 当用后一种关系曲线时,是,把曲线画在,的直角坐标平面上, 而,作为参变量,在,平面上并不出现.,设下图为式(1)在初始条件,情况下的,与,的关系曲线.,当,时, 平面上的点随时间的增大,将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 则曲线上任何一点的,坐标也确定. 当,的值确定后, 由,式(1)可知,的值也唯一确,定, 从而系统的整个运动状态也完全确定.,整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 因为,所以, 当,确定后,也唯一确定. 而,是相,轨迹在,处的曲线斜率, 由于每一点上的斜率确定,所,每一点上只能通过一条相轨迹, 这说明由不同初始条件 出发的相轨迹曲线互不相交. 如果在相平面上某些点的, 即曲线在这一点上的斜率不定, 可有无穷多,条相轨迹通过这一点, 称这一点为系统的平衡点, 或叫奇,点. 在相平面的上方(如下图), 由于,所以,总是朝大的,方向变化, 故相轨迹上的点总是按图,中箭头所指从左向右移动.,在相平面,的下方, 由于,所以,总是朝小的,方向变化, 故相轨迹上的点总是按图中箭,箭头所指从右向左移动.,在,轴上, 由于, 即,不变化, 达到最大值或最小值, 故相轨迹曲线,与,轴的交点处的切线总垂直于,轴.,2. 相轨迹作图法,先以线性系统为例, 说明相轨迹曲线的画法. (1)解析法 根据系统的微分方程求出相轨迹方程, 然后由相轨 迹方程绘制相平面图, 此方法仅用于简单的一二阶线 性系统或分段线性系统. (a)线性一阶系统 系统自由运动的微分方程为:,相轨迹方程为:,设初始条件:, 当T0,相轨迹如下图,系统从任一初始点出发, 均将沿相轨 迹收敛于原点. 当T0, 相轨迹如图,中绿线所示.,系统从任一初始点出发,均将沿相轨迹发散至无穷.,(b)线性二阶系统 系统自由运动的微分方程为:,式(5)可用两个一阶微分方程联立表示:,式(6)除以式(7):,第一种情况, 式(8)为:,对式(9)两边积分得:,式(10)中, 是由初始条件,决定,的积分常数, 当,取不同的数值时, 式(10)在,平面上表示一簇同心的椭圆, 如下图所示.,每一个椭圆,相当于一个简谐运动. 由于在原点, 所以, 原点叫,奇点. 这种奇点对于式(9)是唯一的 一个, 故又叫孤立奇点, 又由于奇 点附近的相轨迹是一簇封闭的曲线,所以这样的孤立奇点又叫中心点.,在,的其它各种情况下, 通过对式(8)两边积分,求出,与,间的解析表达式, 不仅求解过程较困难和复杂,即使由解析表达式画相轨迹也不太容易. 教材P.360P.367 给出了其它各种情况下二阶线性系统的相轨迹图及关于各,奇点的概念, 请参阅.,(2)等倾线法 等倾线法是对一般二阶系统画相轨迹的图解法. 设,二阶系统一般形式的微分方程如下:,式(11)又可化为:,正是相轨迹方程的导函数, 当,取不同值时,的值也不同, 即相轨迹上各点的曲线斜率不一样,但对于一个微分方程, 当初始条件不同时, 其有一簇相 轨迹, 而这一簇相轨迹上各斜率相同的点连起来就可得 一条曲线, 这条曲线叫等倾线. 从数学角度分析, 有:,令,为某一常数, 则,是关于,的方程. 当各不相同的相轨迹通过上面方程所表示的曲,线时, 各条相轨迹与这一曲线的交点处的斜率均等于,例: 设一二阶线性系统的齐次微分方程为:,即, 此系统在初始条件激励下呈衰减振荡,过程. 由式(13)可得:,令, 得等倾线方程为:,若令, 则等倾线如下图所示.,如,则,等倾线如图中蓝线.,依此类推, 取不同的,值, 由,式(15)画出足够密的一簇等倾 线, 然后按各条等倾线所表示,的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示.,图中相轨迹表示,系统在某一初始条件下的运,动轨迹. 此系统有一对实部为负的共轭复根, 因此在任 何一对初始条件激励下, 其自由运动均呈率减振荡形式 不同初始条件下的各条相轨迹从不同方向趋向于相平面 的原点, 这种奇点叫稳定的焦点.,3. 由相平面图求时间解,曲线,在,相平面上得到的是表示,与,间函数关系的,相轨迹曲线, 但在工程上分析系统时, 往往希望得到比,较直观的,关于时间,的函数图象, 因此要利用相平面,上的相轨迹曲线来确定,的曲线图形.,下图表示相轨迹曲线中的某一段.,若A点对应的时,刻为, 求B点对应的时刻,可在AB段沿相轨迹运动的方,取若干个点,计算出相邻两点,间的时间增量, 则系统,从点A运动到B点时, B点的时刻, 而,的计,算有下面三种方法. (1)增量法 设相轨迹上两点,位移增量较,小, 设,为两点处相轨迹上速度变量,的平均值, 则:,(2)积分法 设点,对应的时间为, 点,对应的时间为, 则,其几何意 义见右图.,(3)圆弧法,设相平面上某条相轨迹的某一段如下图所示.,用圆心,坐标为, 半径为,的圆上的一段圆,弧来近似表示相轨迹上,两点间的一段曲线.,设这段圆弧上的,任一点坐标为, 这点与圆心的连,线和横轴正方向间的夹角为, 则有:,若,点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为,点与圆心的连线和横轴正方向间的夹角为, 且,. 积分法中的式(17)可转化为:,4. 非线性系统的相平面分析,例1. 继电型非线性系统阶跃响应和斜坡响应的分析.,设系统初始 条件:,(1)单位阶跃输入信号,对,的微分方程式为:,因,与,没有直接关系, 故,设法把,变量换成,变量. 当,时,代入式(19):,由于,与,为非线性关系, 将式(20)分段线性化,由右图,得:,区域,令, 则,等倾线为一组平,行于,轴的直线. 当,时,相轨迹为一组平行的曲线, 所由相轨迹均趋向于,的直线, 如下图所示.,这一特定的相轨迹如上图,所示.,区域,因相轨迹的斜率始终为-1, 所以相轨迹为一簇平行的斜 率为-1的直线, 见下图.,特定的相轨迹为,区域,相轨迹与区域,类似, 但所有相轨迹均趋向于,直线, 见下图.,特定的相轨迹为, 最后形成一个极限环.,系统作持,续振荡, 振荡的幅值与,及线性部分的时间常数,和传递系数有关.,(2)等速度输入信号,代入式(19)并分段线性化得:,a)当R=1.20.8, 则:,区域, 所有相轨迹趋,近于,的水平直线.,区域, 所有相轨迹趋,近于,的水平直线.,区域, 所有相轨迹趋近于,的水平直线. 相轨迹图见下图.,由上图可见, 当初始偏差位置在,点时, 系统将沿,轨线运动, 当,时, 显然系统不稳定.,b)当R=0.8,则,区域, 相轨迹在,平面上任一点的斜率均为-1,相轨迹为一簇,区域, 所有相,区域, 所有相轨迹趋近于,轨迹趋近于,直线.,斜率为-1的直线.,c)当,时, 分段线性化方程如下:,区域,所有相轨迹趋近于,的水平直线.,同理可得区域,的相轨迹簇,和区域,的相轨迹簇.,从某一初始点,出发,的相轨迹见下图, 存在极限环,例2. 速度反馈对继电型系统的性能影响,设有下图所示无速度反馈的理想继电型非线性系统.,分段线性化方程 为:,区域, 其上相轨迹如右图.,区域, 其上相轨迹如右图.,从任一,初始点,出发的相轨迹也见右图, 系统呈衰减振荡, 振荡时间较长.,其它参数不变, 有速度反馈的理想继电型非线性系统见,下图.,分段线性化方程为:,两区域的分界线即开关,线方程为:,即斜率,为,过原点的直线,区域,区域,与无速度反馈相比, 开关线向左,倾斜了一个角度.,两个区域的相轨迹簇见下图.,两区域中各自分别总有一,条相轨迹与开关线切于,两点. 当相轨迹曲线与开关线,交于,线段内时, 系统状态,必将沿开关线迅速滑向原点.,如左图所示.,如继电非理想,即开关在切换时有滞后, 则,相轨迹在,线段内时, 系统状态呈抖动式地滑向原点,出现小幅振荡. 由上分析可知, 有速度反馈的继电型非线 性系统的动态性能比无速度反馈的继电型非线的动态性 能要好. 7-4描述函数法 1. 描述函数的基本概念 描述函数法又叫谐波线性化法.,非线性系统的典型结构可由下图所示.,描述函数法的基本思想是用某一数学方法, 将非线性系 统谐波线性化后, 引用分析线性系统的频率响应法. 为 此, 非线性系统本身必须满足以下几个条件: (1)非线性环节N的特性不是时间的函数, 即是非时 变的;,(2)非线性环节的输入信号,是幅值为A的正弦信号,不包含恒定直流分量; (3)非线性环节的输出信号,一般情况下是非正弦信,号, 从付里叶级数角度看, 它是直流分量, 一次谐波即,基波分量,及高次谐波分量,的叠加. 如线性,部分具有良好的低通虑波特性, 能将,中的高次谐波,分量虑有效地虑掉, 则可近似认为只有,中的一次谐,波分量,沿闭环通道传送;,(4)要求沿闭环通道传送的信号不能有,的直流分,量, 因此非线性环节的特性必须斜对称, 即满足如下,关系式:, 则,的直流分量,2. 描述函数的定义 非线性环节输出信号一次谐波分量与输入正弦信号 的复数比定义为非线性环节的描述函数, 即:,式(21)中:,为非线性环节的描述函数;,是非线性环节正,弦输入信号,的幅值;,为非线性环节输出信,号一次谐波分量的幅值;,输出一次谐波分量和,输入正弦信号的初相位之差.,描述函数式(21)的一般计算公式如下.,设非线性环节输入正弦信号, 非线性环节,的非正弦输出信号经付里叶级数展开后可表为:,根据上述条件(4) 有:,根据上述条件(3) 有:,上式中:,因此, 左式中:, 从而描述函数式(21)表为,描述函数的特性:,(1)当非线性环节包含储能元件时, 其输出与输入信 号的幅值和频率有关, 故N也是输入信号幅值和频率的函,数, 可用,表示;,(2)工程上大多数非线性环节包含储能元件, 它们的输 出信号仅与输入信号的幅值有关, 故N也仅是输入信号幅,值的函数, 可用,表示;,(3)若非线性环节是单值函数, 则其描述函N是实数, 若非线性环节是多值函数, 则其描述函N是复数;,(4)若非线性环节输出, 其中, 且它们都是单值非线性, 描述,函数分别为, 则此非线性环节的描述函数为,特性(4)可用下图说明:,采用描述函数法研究非线性系统, 其优点是不管非 线性系统的线性部分是几阶的, 它均能被采用. 但用它 研究问题的范围仅限于分析和校正非线性系统的稳定性, 稳定性的性质, 如自激振荡的稳定性和振荡参数. 不能 研究非线性系统的瞬态响应性能, 且非线性系统无外加 输入信号, 线性部分要具有良好的低通虑波特性, 以满 足分析的精度要求.,3. 典型非线性特性描述函数的求取举例,饱和非线性是最常见的一种非线性特性, 如各类放 大器就具有饱和非线性特性, 其输入输出关系可用下图,表示.,由图可见, 当,时,即:,因非线性为斜对称, 输出,可分段表为:,对,进行付里叶分解, 由于非线性斜对称,故, 取分解后的一次谐波, 有:,由于,为奇函数,为偶函数,所以,由于,为奇函数, 则,为偶函数, 所以,求取描述函数的其它例子请见教材P.376P.379, 工程上,常见的非线性特性及其描述函数见教材P.379P.380表8-1. 4. 非线性系统稳定性分析的描述函数法 设一非线性系统方框图如下所示.,令系统在虚线处开环, 且假设, 则,式(23)中,设, 式中,是,的幅值, 则,若系统产生振荡, 则有, 比较式(23)和式(24),可得系统产生振荡的条件为:,非线性系统产生自激振荡的上述条件, 也可表为:,的形式, 推导如下:,称上式中,为非线性特性的负倒描述函数. 有上,分析可得两个结论: (1)当非线性系统的线性部分的频率特性与非线性环 节的乘积等于-1时, 系统将产生自激振荡;,(2)由于,是关于,的复变函数, 而,是关于A的复变函数, 因此两者的曲线可画在同一复平面,上,而,和A均作为参变量在复平面上并不出现. 则由两者,曲线的交点, 可确定系统产生自激振荡的性质, 自激振荡 的频率和幅值.,由,这一等式,可将线性系统中的奈氏,稳定判据推广应用到非线性系统, 说明如下: 假如系统中 没有非线性环节, 则闭环特征方程的频域表达式为:, 即, 与非线性系统产生自激振荡,的条件,复平,面上的点,相比较可知, 线性系统, 在非线性系统的复平面上被负倒描述函,数,曲线所取代. 从而奈氏判据用于非线性系统时,可作如下表述: 当非线性系统的线性部分传递函数的所有 极点均在S的左半平面上时,(1)当曲线,未被,奈氏曲线包围时, 非线,性系统是稳定的, 在稳态时, 系统不会产生自激振荡.,如下图所示.,两曲线相距越远, 系统越稳定. 其稳定程度,也可仿照线性系统稳定裕量的 概念, 用幅值裕度和相角裕度,来表征. 但由于A值不同,曲线上的点与,曲线的相对位置,也不一样, 因而对于不同的A值就有 不同的稳定裕量数值, 假如当A等于,时, 在,曲线上的点为N,连接0N,交,曲线,于G点,则定义幅值裕度为, 若以,0N为半径作一圆弧交,曲线于M点,则连线0N与0M,间的夹角,定义为相角裕度.,(2)当曲线,被,包围, 如下图所示,则系统是不稳定的.,(3)当曲线,与,如下图所示相交时,则系统,在交