高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十三）抛物线（含解析）新人教A版.docx

课时跟踪检测（五十三） 抛物线一、题点全面练1(2019张掖诊断)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|()A9B8C7D6解析：选B抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.故选B.2顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2xB.x28yCy28x或x2yDy2x或x28y解析：选D(待定系数法)设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y.故抛物线方程为y2x或x28y.3(2018河北“五个一名校联盟”模拟)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()Ay212xB.y28xCy26xDy24x解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点到y轴的距离为2，2，x1x24，p4，所求抛物线的方程为y28x.故选B.4(2019昆明调研)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|AB|，则l的斜率为()A.B.C.D1解析：选B设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AAm，NNm，BBm，垂足分别为A，N，B.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB|BF|，|AA|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|AB|，所以|NN|(|BB|AA|)(|BF|AF|)|AB|MN|，所以MNN60，则直线MN的倾斜角是120.又MNl，所以直线l的倾斜角是30，斜率是.故选B.5(2018合肥模拟)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A.B.C.D.解析：选D设抛物线C：y28x的准线为l，易知l：x2，直线yk(x2)恒过定点P(2,0)，如图，过A，B分别作AMl于点M，BNl于点N，连接OB，由|FA|2|FB|，知|AM|2|BN|，点B为线段AP的中点，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为1，k0，点B的坐标为(1,2)，k.故选D.6一个顶点在原点，另外两点在抛物线y22x上的正三角形的面积为_解析：如图，根据抛物线的对称性得AOx30.直线OA的方程yx，代入y22x，得x26x0，解得x0或x6.即得A的坐标为(6,2)|AB|4，正三角形OAB的面积为4612.答案：127已知抛物线y24x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|xA13，所以xA2，yA2，所以直线AB的斜率为k2.则直线AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立整理得2x25x20，xAxB，所以xB，所以|BF|1.答案：8(2019贵阳模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为60的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则p_.解析：过点A，B向抛物线的准线x作垂线，垂足分别为C，D，过点B向AC作垂线，垂足为E，A，B两点在抛物线上，|AC|AF|，|BD|BF|.BEAC，|AE|AF|BF|，直线AB的倾斜角为60，在RtABE中，2|AE|AB|AF|BF|，即2(|AF|BF|)|AF|BF|，|AF|3|BF|.|AF|2，|BF|，|AB|AF|BF|.设直线AB的方程为y，代入y22px，得3x25px0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2p，|AB|x1x2p，p1.答案：19已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解：(1)由题意得直线AB的方程为y2，与y22px联立，消去y有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而该抛物线的方程为y28x.(2)由(1)得4x25pxp20，即x25x40，则x11，x24，于是y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4，4)(41,42)又y8x3，所以2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.故的值为0或2.10设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y1)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2019大同模拟)点M(5,3)到抛物线yax2(a0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2B.y12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2解析：选D抛物线标准方程为x2y(a0)，当a0时，开口向上，准线方程为y，则点M到准线的距离为36，解得a，则抛物线方程为yx2；当a0时，开口向下，准线方程为y，则点M到准线的距离为36，解得a，则抛物线方程为yx2.2已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则实数a的取值范围为_解析：如图，设C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)，则(x0，ax)，(x0，ax)CACB，0，即(ax)(ax)20，整理得(ax)(1ax)0.xa10，a1.答案：1，)3过抛物线x24y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且ABCD，则的最大值为_解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，依题意可得，(|)又因为|yA1，|yB1，所以(yAyByAyB1)设直线AB的方程为ykx1(k0)，代入x24y，可得y2(24k2)y10，所以yAyB4k22，yAyB1，所以(4k24)同理.所以16.当且仅当k1时等号成立故FAFBFCFD的最大值为16.答案：16 (二)交汇专练融会巧迁移4与向量的交汇设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6C7D8解析：选D由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立解得或不妨设M(1,2)，N(4,4)又抛物线焦点为F(1,0)，(0,2)，(3,4)03248.5与双曲线交汇已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是()Ax216yB.x28yCx2yDx2y解析：选A因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，所以2，即4，所以3.因为双曲线的渐近线方程为bxay0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以2，解得p8，所以抛物线C2的方程是x216y.6与不等式交汇已知抛物线C：x22py(p0)，P，Q是C上任意两点，点M(0，1)满足0，则p的取值范围是_解析：过M点作抛物线的两条切线，设切线方程为ykx1，切点坐标为A(x0，y0)，B(x0，y0)，由y，得yx，则解得k .0恒成立，AMB90，即AMO45，|k|tan 451，即 1，解得p2，由p0，则0p2， p的取值范围为(0,2答案：(0,2 7与圆交汇已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程解：设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk