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板块命题点专练(六) 简单的三角恒等变换及解三角形命题点一简单的三角恒等变换1(2018全国卷)已知tan,则tan _.解析:tantan,解得tan .答案:2(2015江苏高考)已知tan 2,tan(),则tan 的值为_解析:tan tan()3.答案:33(2017江苏高考)若tan,则tan _.解析:tan tan.答案:4(2018全国卷)已知sin cos 1,cos sin 0,则sin()_.解析:sin cos 1,cos sin 0, 22得12(sin cos cos sin )11,sin cos cos sin ,sin().答案:5(2018全国卷改编)若sin ,则cos 2_.解析:sin ,cos 212sin2122.答案:6(2016江苏高考)在ABC中,AC6,cos B,C.(1)求AB的长;(2)求cos的值解:(1)因为cos B,0B,所以sin B .由正弦定理知,所以AB5.(2)在ABC中,ABC,所以A(BC),于是cos Acos(BC)coscos Bcossin Bsin.又cos B,sin B,故cos A.因为0A,所以sin A.因此,coscos Acossin Asin .7(2018江苏高考)已知,为锐角,tan ,cos().(1)求cos 2的值;(2)求tan()的值解:(1)因为tan ,所以sin cos .因为sin2cos21,所以cos2,所以cos 22cos21.(2)因为, 为锐角,所以(0,)又因为cos(),所以sin(),所以tan()2.因为tan ,所以 tan 2.所以tan()tan2().命题点二解三角形1(2018江苏高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC120,ABC的平分线交AC于点D,且BD1,则4ac的最小值为_解析:如图,SABCSABDSBCD,acsin 120c1sin 60a1sin 60,acac.1.4ac(4ac)52 59,当且仅当,即c2a时取等号故4ac的最小值为9.答案:92(2018浙江高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a,b2,A60,则sin B_,c_.解析:由正弦定理,得sin Bsin A.由余弦定理a2b2c22bccos A,得74c24ccos 60,即c22c30,解得c3或c1(舍去)答案:33(2018全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C,b2c2a28,则ABC的面积为_解析:bsin Ccsin B4asin Bsin C,由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0,sin A.由余弦定理得cos A0,cos A,bc,SABCbcsin A.答案:4(2018北京高考)在ABC中,a7,b8,cos B.(1)求A;(2)求AC边上的高解:(1)在ABC中,因为cos B,所以sin B .由正弦定理得sin A.由题设知B,所以0A.所以A.(2)在ABC中,因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B,所以AC边上的高为asin C7.5(2015江苏高考)在ABC中,已知AB2,AC3,A60(1)求BC的长;(2)求sin 2C的值解:(1)由余弦定理知,BC2AB2AC22ABACcos A492237,所以BC.(2)由正弦定理知,所以sin Csin A.因为ABBC,所以C为锐角,则cos C .因此sin 2C2sin Ccos C2.6(2018天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小;(2)设a2,c3,求b和sin(2AB)的值解:(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsin Aasin B.又因为bsin Aacos,所以asin Bacos,即sin Bcos Bsin B,所以tan B.因为B(0,),所以B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,得b2a2c22accos B7,故b.由bsin Aacos,可得sin A .因为ac,所以cos A .所以sin 2A2sin Acos A,cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.7(2013江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A,cos C.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在ABC中,因为cos A,cos C,所以sin A,sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理,得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(10050t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50),因0t,即0t8,故当t(min)时,甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理,得BCsin A500(m)乙从B出发时,甲已走了50(281)550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得33,解得v,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内命题点三三角综合问题1(2018全国卷)已知函数f(x)2sin xsin 2x,则f(x)的最小值是_解析:f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10,当cos x时,f(x)0,f(x)单调递减;当cos x时,f(x)0,f(x)单调递增当cos x时,f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x),当sin x时,f(x)有最小值,即f(x)min2.答案:2(2016浙江高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bc2acos B.(1)证明:A2B;(2)若ABC的面积S,求角A的大小解:(1)证明:由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B,故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B,于是 sin Bsin(AB)又A,B(0,),故0AB,所以B(AB)或BAB,因此A(舍去)或A2B,所以A2B.(2)由S得absin C,故有sin Bsin Csin A sin 2Bsin Bcos B.因为 sin B0,所以 sin Ccos B.又B,C(0,),所以CB.当BC时,A;当CB时,A.综上,A或A.3(2016
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