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3.6 力的轉動效應 The turning effect of a force,轉矩 (Torques) 轉矩的相加(Addition of torques) 剛體的平衡 (Equilibrium of a rigid body) 重心(Centre of gravity),1,2,3,4,平衡絕技(Stunning act),在雜技表演中，表演者(performers) 要令身體平衡(stabilize)、不掉下去，須符合甚麼條件(conditions)？,1. 沒有淨力(no net force),2. 沒有淨轉矩(no net torque),1 轉矩(Torques),力能令剛體(rigid body) (固定形狀及大小) 圍繞一點轉動。,例子：開門或開窗,力在某點產生的轉動效應(turning effect)取決於：,力的量值 力與轉動點之間的垂直距離,較小的力,較大的力,效應可能相同!,實驗 3g,1 在門邊固定一個膠吸盤， 把彈簧秤鈎在吸盤上。 向門施加一個與它垂直的 力，把門打開。 2 縮短吸盤與門鉸的距離， 重複步驟。,工作紙 (Eng , Chi) 答案 (Eng , Chi),力對某一點所產生的轉動效應，由力矩(moment of force) 或 轉矩(torque)來量度：, = F d,轉動點：支點(pivot),力與支點之間的垂直距離：矩臂(moment arm),轉矩是矢量，單位：N m,方向：順時針或逆時針,順時針的轉距,逆時針的轉距,力 F 從不同的角度作用於門的同一位置。,矩臂長度(d )不同,轉矩不同,最大的轉矩,最小的轉矩,轉矩在日常生活中的例子：,例題 19,男孩用 30 N 的力推開闊 80 cm 的門。,(a),轉矩 = ？,轉矩 = F d,= 30 0.8,= 24 N m（順時針方向）,d,(b),轉矩 = ？,轉矩 = F d,= 30 (0.8 sin 60),= 20.8 N m（順時針方向）,d,另解：,把 F 分解，用它與門垂直的分量來找出轉矩。,轉矩 = F d,= (30 sin 60) 0.8,= 20.8 N m（順時針方向）,30 sin 60,30 cos60,進度評估 8 Q1,求男孩的推力對旋轉軸的轉矩。,轉矩 = F d,= 15 2.2,= 33 N m（順時針方向）,進度評估 8 Q2,力 F 作用在一剛體上，剛體繞 O 點轉動。,F 對 O 點的轉矩 = ？,F 的量值 = 20 N,轉矩 = F d,= 20 (0.1 sin 70),= 1.88 N m（順時針方向）,0.1 sin 70,Torque = F d,= (20 sin 70) 0.1,= 1.88 N m (clockwise),20 sin70,20 cos70,2 轉矩的相加(Addition of torques),相加 同一方向 的轉矩給予 較大的轉矩。,相加 不同方向 的轉矩給予 較小的轉矩。,a 力偶(couples),兩個平行但方向相反的力互相抵銷。,開瓶器不會轉動。,兩個平行但方向相反的力，作用在不同的直線上。,開瓶器會轉動。,兩個量值相等但方向相反的平行力，同時施加於同一物體，但又不是作用在同一直線時，便構成一對力偶。,注意：,力偶的合力 = 0,但是，合轉矩 0,合轉矩, = F d,d = 垂直距離,日常生活中力偶的例子：,轉動軚盤,轉動扭蛋機轉鈕,轉動罐頭刀把手,b 淨轉矩(Net torque),淨轉矩：所有作用於同一物體，對同一點的 轉矩總和。,取順時針方向為正。,淨轉矩 =,順時針合轉矩,逆時針合轉矩,順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩,淨轉矩 = 0,若物體不轉動，則,例題 20,旋轉輪直徑 = 1.8 m,兩個小童一起轉動旋轉輪。,A 所施的力 = 30 N,B 所施的力 = 50 N,(a) 如果 A 和 B 都按順時針方向施力， 淨轉矩 = ？,淨轉矩 = 30 + 50 ,= 72 N m,淨轉矩是 72 N m（順時針方向）。,取順時針方向為正。,(b) 如果 B 改為按逆時針方向施力， 淨轉矩 = ？,淨轉矩 = 30 50 ,= 18 N m,淨轉矩是 18 N m（逆時針方向）。,取順時針方向為正。,進度評估 9 Q1,淨轉矩 = ？,轉動方向 = ？,取順時針方向為正。,淨轉矩 = 30 0.3 20 0.5,= 1 N m,轉輪會按 _ 方向轉動。,逆時針,3 剛體的平衡(Equilibrium of a rigid body),剛體靜止不動時：平衡狀態,要令物體保持平衡，必須達到兩個條件：,1 沒有淨力：因此作用於物體的力都互相平衡。 2 沒有淨轉矩：作用於物體的力對任何一點的轉矩總和都是零，即,日常生活中要保持平衡的例子：,體操運動員站在平衡木上,以天平量度重量,雜技人表演踩鋼線,例題 21,一把水平擺放的米尺上刻有 5 點，把米尺分成 4 等份(equal sections)。,情況 1：,情況 2：,力以兩種不同的方法作用於米尺：,(a) 在兩個情況下，作用於米尺的淨力，以及 對 O 點和 A 點的淨轉矩 = ？,取順時針方向為正。,F = 5 5 = 0,F = 5 + 5 = 10, = 5 0.25 5 0.25 = 0, = 5 0.25 5 0.25 = 0, = 5 0.25 5 0.25 = 0, = 5 0.25 + 5 0.75 = 5 N m,(b) 哪把尺處於平衡狀態？ 試作簡單解釋。,情況 1 的米尺。,沒有淨力及沒有淨轉矩在尺上任何一點。,例題 22,A 和 B：距離支點 1.5 m,A 的質量 = 30 kg,B 的質量 = 28 kg,書包的質量 = 10 kg,假設：蹺蹺板的長板十分輕。,書包：放在支點上,(a) 兩個書包應放在哪個 位置才能回復蹺蹺板 的平衡？,應該加入順時針方向的轉矩。,設 d 為書包與支點間的距離。,取順時針方向為正。,處於平衡狀態時，,順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩,28 9.81 1.5 + 10 9.81 d = 30 9.81 1.5,d = 0.3 m,書包須放在支點右面 0.3 m 處。,d,(b) 支點對長板所作出的支持力 R = ?,沒有淨力, R = WA + WB + W書包,= 30 9.81 + 28 9.81 + 10 9.81,= 667.1 N,進度評估 10 Q1,（第 1 至 2 題） 下圖顯示一個平衡的天平。,偉明在 A 點放上 3 kg 的砝碼，然後在另一邊放上 2 kg 的砝碼，嘗試令天平保持平衡。,加上兩個砝碼後，在 B 點的支持力增加了多少？,增加的 R = 增加的重量,= 2 9.81 + 3 9.81,= 49.1 N,進度評估 10 Q2,2 kg 的砝碼應放在哪個位置？,取順時針方向為正。,設 d 為 2 kg 的砝碼與 B 的距離。,處於平衡狀態時，,順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩,2 9.81 d = 3 9.81 0.5,d = 0.75 m,（B 右方）,4 重心(Centre of gravity),是否任何物件都可只用一個支撐點來托起？,你能用指頭托起硬幣或間尺嗎？,重心(centre of gravity) (c.g.)：,每個剛體都有的固定點，剛體的重量好像作用於這一點。,當支持力與物體的重心位於同一條直線，,物體的重量和支持力不產生轉矩,保持平衡,重心一定在這線上某處,視訊,實驗 3h,1 用卡紙隨意剪出一個形狀。,2 把剪出來的卡紙及一根 繩子，一同從卡紙邊緣 上的一點懸起。 在卡紙上標記繩子的位 置。,3 改用卡紙的另一點重複步驟 2。 卡紙的重心就在兩個標記的中間點(intersection of the 2 markings)。,4 試用一支鉛筆在重心支撐起卡紙。 剪出另一個形狀的卡紙，重複實驗。,video , worksheet (Eng , Chi) answer (Eng , Chi),只要在重心支撐物體，便可令物體保持平衡。,系統的重心位置影響它的穩定性。,雙腿緊貼牆，是否可彎下上身(手到地)而不倒？,不可能 ！,當彎下時，重心會移離腳底而令你反側。,重心,重量,上身可向後彎，令重心移至腳底。,如雙腿不緊貼牆，是否可彎下上身(手到地)而不倒？,可能！,例題 23,雜技人在載着乘客時較易在鋼線上保持平衡，還是沒有載客時較易平衡？試作簡單解釋。,雜技人獨自表演時，重心在鋼線上方。,如果身體稍向兩邊傾斜，,重量便會產生轉矩，令他進一步傾側,必須令重心保持在鋼線正上方才能 平衡，這是很困難的,雜技人載着乘客時，系統的重心位於鋼線下方。,如果他們稍向兩邊傾斜，,兩人合起來的重心便會產生轉矩，使他們返回平衡位置,較易保持平衡,視訊,例題 24,工人站在高空工作台的中央。,平台的寬度 = 3 m,平台的重心位於中央。,工人的質量 = 70 kg,平台的質量 = 500 kg,(a) 平台兩端連接的鋼索 的張力 = ？,在平衡狀態時：,對 A 點的淨轉矩 = 0,TB = 2796 N,70 9.81 1.5 + 500 9.81 1.5 = TB 3,淨力 = 0,TA + 2796 = 70 9.81 + 500 9.81,TA = 2796 N,每條鋼索的張力是 2796 N。,(b) 工人向 B 的方向 移動 1 m。 張力 = ？,在平衡狀態時，,對 A 點的淨轉矩 = 0,TB = 3024.8 N,70 9.81 (1.5 + 1) + 500 9.81 1.5 = TB 3,淨力 = 0,TA + 3024.8 = 70 9.81 + 500 9.81,TA = 2566.9 N,連接 A 點鋼索的張力是 2566.9 N，連接 B 點鋼索的張力是 3024.8 N。,進度評估 11 Q1,木板： 長 4 m、重 100 N，重心位於它的中央 工人： 重 800 N，距離木板末端 1 m,（第 1 至 2 題）,進度評估 11 Q1,考慮對 B 點的轉矩，求 X 的值。,以 B 點為支點計算轉矩。處於平衡狀態時，,X 4 = 800 3 + 100 2,X = 650 N,進度評估 11 Q2,考慮作用於木板的淨力，求 Y 的值。,淨力 = 0,650 + Y = 800 + 100,Y = 250 N,例題 25,風帆選手用繩把重量為 80 N 的帆慢慢地拉起。,他向繩子施加力 T 時，帆平躺水面不動。,(a) 帆的重心與接合點相距 2 m。 T =？,以接合點為支點計算轉矩。,順時針合轉矩 = 逆時針合轉矩,T (2.5 sin 30) = 80 2,T = 128 N,(b) 風帆選手終於把帆拉起。 一陣風以垂直方向吹向帆，在帆每 m2 的 面積施加 40 N 的力。,(i) 如果帆的面積是 7 m2，風作用在帆上 的總力 = ？,總力 = 40 7,= 280 N,(ii) 若把帆轉動 15，風作用在帆上的力 = ？,把風作用的力分解。,風作用在帆的力,= 與帆垂直的分量,= 280 cos 15,= 270 N,習題與思考 3.6 文章 (p.183),xx/09/13 交,A greater gravitational force will act on the object with greater mass.,(p. 169),T,1,重力 = m g,gravitational force = m g,A pair of action-and-reaction forces must act on two different bodies.,T,2,Even when the net force acting on an object is zero, the object may not be at rest.,T,3,e.g. the object is moving initially 例：物體原先是移動中,The turning effect of a force about a point depends on the magnitude of the force and the distance between the turning point and the point where the force acts on.,F,4,Concept traps (p. 169),4,The turning effect of a force about a point depends on the magnitude of the force and the perpendicular distance between the turning point and the point where the force acts on.,If the net force acting on a body is zero, the body is in equilibrium.,Concept traps (p. 169),F,5,Net force = 0 and Net torque = 0,對運動與力的錯誤概念 - p.184 Persistent misconceptions about motion and force 答案(Answers) - p.362,自行閱讀(Self-reading):,複習 3(p.170) ： 多項選擇題 1 17 問答題 1 - 24,