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课时跟踪练(三十三)A组基础巩固1一题多解已知数列an是等差数列,a1a78,a22,则数列an的公差d等于()A1 B2 C3 D4解析:法一由题意可得解得a15,d3.法二a1a72a48,所以a44,所以a4a2422d,所以d3.答案:C2一题多解(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27,a108,则a100()A100 B99 C98 D97解析:法一因为an是等差数列,设其公差为d,所以S9(a1a9)9a527,所以a53.又因为a108,所以所以所以a100a199d199198.故选C.法二因为an是等差数列,所以S9(a1a9)9a527,所以a53.在等差数列an中,a5,a10,a15,a100成等差数列,且公差da10a5835.故a100a5(201)598.故选C.答案:C3(2019太原模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2a3a109,则S9()A3 B9 C18 D27解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d.因为a2a3a109,所以3a112d9,即a14d3,所以a53,所以S927.故选D.答案:D4(2019汕头模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,a19,4,则Sn取最大值时的n为()A4 B5 C6 D4或5解析:由an为等差数列,得a5a32d4,即d2,由于a19,所以an2n11,令an2n11,又因为nN*,所以Sn取最大值时的n为5,故选B.答案:B5(2019合肥质量检测)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A174斤 B184斤C191斤 D201斤解析:用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,所以8a117996,解得a165.所以a865717184,即第8个儿子分到的绵是184斤故选B.答案:B6在等差数列an中,公差d,前100项的和S10045,则a1a3a5a99_解析:因为S100(a1a100)45,所以a1a1000.9.a1a99a1a100d0.4,则a1a3a5a99(a1a99)0.410.答案:107(2019莆田质量检测)已知数列an满足a11,anan12anan1,则a6_解析:将anan12anan1两边同时除以anan1可得2.所以是以1为首项,2为公差的等差数列,所以5211,即a6.答案:8设Sn是等差数列an的前n项和,S1016,S100S9024,则S100_解析:依题意,S10,S20S10,S30S20,S100S90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d.又S1016,S100S9024,因此S100S902416(101)d169d,解得d,因此S10010S10d1016200.答案:2009(2016全国卷)等差数列an中,a3a44,a5a76.(1)求an的通项公式;(2)设bnan,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.90,2.62.解:(1)设数列an首项为a1,公差为d,由题意得解得所以an的通项公式为an.(2)由(1)知,bn.当n1,2,3时,12,bn1;当n4,5时,23,bn2;当n6,7,8时,34,bn3;当n9,10时,45,bn4.所以数列bn的前10项和为1322334224.10已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk110.(1)求a及k的值;(2)设数列bn的通项公式bn,证明:数列bn是等差数列,并求其前n项和Tn.(1)解:设该等差数列为an,则a1a,a24,a33a,由已知有a3a8,得a1a2,公差d422,所以Skka1d2k2k2k.由Sk110,得k2k1100,解得k10或k11(舍去),故a2,k10.(2)证明:由(1)得Snn(n1),则bnn1,故bn1bn(n2)(n1)1,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列,所以Tn.B组素养提升11(2019河南普通高中毕业班高考适应性考试)已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*),且an2n,若数列Sn(n5,nN*)为递增数列,则实数的取值范围为()A(3,) B(10,)C(11,) D(12,)解析:在等差数列an中,由an2n,得a12,d2,所以Snna1dn(2)n2(1)n,其图象的对称轴方程为n,要使数列Sn在n|n5,nN*内为递增数列,则12,故选D.答案:D12设数列an的前n项和为Sn,若为常数,则称数列an为“吉祥数列”已知等差数列bn的首项为1,公差不为0,若数列bn为“吉祥数列”,则数列bn的通项公式为()Abnn1 Bbn2n1Cbnn1 Dbn2n1解析:设等差数列bn的公差为d(d0),k,因为b11,则nn(n1)dk,即2(n1)d4k2k(2n1)d,整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因为对任意的正整数n上式均成立,所以(4k1)d0,(2k1)(2d)0,解得d2,k,所以数列bn的通项公式为bn2n1.答案:B13(2019中山一中统测)设Sn是数列an的前n项和,且a11,an1SnSn1,则Sn_解析:因为an1Sn1Sn,an1SnSn1,所以Sn1SnSnSn1.因为Sn0,所以1,即1.又1,所以是首项为1,公差为1的等差数列所以1(n1)(1)n,所以Sn.答案:14(2019北京海淀区模拟)已知an是各项为正数的等差数列,Sn为其前n项和,且4Sn(an1)2.(1)求a1,a2的值及an的通项公式;(2)求数列的最小值解:(1)因为4Sn(an1)2,所以当n1时,4a1(a11)2,解得a11,所以当n2时4(1a2)(a21)
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