概率论课件--2-2随机变量的概率分布.ppt

,第二章,第二节,随机变量的概率分布,一、随机变量的分布函数,二、离散型随机变量的分布律,三、连续型随机变量及概率密度,函数,一、随机变量的分布函数,有了随机变量的概念，就可以将上一章中的随机事件转化为随机变量来研究 。,如：掷一枚骰子，设 表示点数不超过3， 表示点数不超过6， 表示点数少于3.5。,显然由上一章知识有:,现在有了随机变量的概念，就可以用随机变量,来表示随机试验。,设 表示掷一枚骰子的点数，则:,下面定义一个很重要的概念分布函数，这个,函数在以后对随机变量的研究中起着很重要的作用。,由上面的例子可以看出概率值 的大小,与 的取值有关，因此 是 的函数，就将,其定义为随机变量 的分布函数。,称为随机变量的分布函数。,定义1：设为 一随机变量， 为任意实数，,当 时， 的取值为1,2,3,4,5,6，不可能小于 ，,则 ；,比如刚才例子，掷一枚骰子，用 表示点数，,求 的分布函数 。,当 时，若 取1则满足 ，有 的概率, 因此 ；,当 时，若 取1或2则满足 ，有 的 概率，因此 ；,当 时， ；,当 时， ；,当 时， ；,当 时， 。,综上：,比如求,分布函数 表示 落在 内的概率,定理2.2.1 任一随机变量 的分布函数 具有如下性质：,（1） 为非减函数，若 ,则 ；,（2） ， ；,（3） 为右连续函数，对任意实数 有,其实，若某一函数 满足上述三个性质，一定可以做为某随机变量 的分布函数。可以用此方法判断一个函数是否分布函数。,例1：设随机变量 的分布函数为,试求（1）系数 ；,（2） 落在 内的概率。,解：（1）由性质可得,解得 ，,因此 ；,（2）,。,二、离散型随机变量及其分布,若随机变量 的全部可能取值为有限多或可列无穷多，称 为离散型随机变量。,称为离散型随机变量 的概率分布或分布律。,分布律经常可写成表格形式：,分布律性质：,(1),反之，若某一数列 具有以上两条性质，均可做为某离散型随机变量的分布律。,例2： （ 的自然数）,是随机变量 的分布律吗？,解:,由,可得,又,满足以上两个条件，因此是 的分布律。,注：分布函数与分布律的不同之处,分布律描述的是随机变量取某个值的概率；,因此通过分布律可求分布函数,分布函数描述的是随机变量不超过某个值的概率;,例3：进行两次射击，每次命中目标的概率为0.4,用 表示击中目标的次数，求 的分布律及分布函数。,解:,的可能取值为0，1，2,则 的分布函数为,例4：甲乙两人从装有 个白球与 个黑球的口袋,中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后不,放回，直到两人中有1人取到白球时停止。试求取,球次数的分布律和甲先取到白球的概率。,解:,令 表示取球次数,因此分布律为,下面求甲先取到白球的概率，由于甲先取到白球，因此 取奇数，则,P甲先取到白球,三、连续型随机变量及概率密度函数,定义2.2.3 设 是随机变量 的分布函数，若存在一个非负函数 ，使对一切 ，有,则称 为连续型随机变量， 为 的概率密度函数或分布密度函数。,概率密度函数 的图像称为分布曲线，则连续型随机变量 的分布函数 的几何意义是:以分布曲线 为顶，以 轴为底，从 到 的一块区域的面积（见下图）。,定理2.2.2 概率密度函数 具有如下性质,（1） ；,（2） ；,（3） ；,（4）若 在 处连续，则 ；,对于定义在 上的可积函数 ，若满足性质（1）和（2），则 必可作为某连续型随机变量的概率密度函数。,证毕,证明：只证（4）,例5：设随机变量 的概率密度函数为,试确定常数 ，并求 的分布函数及 。,解:,由于,即,则,得,所以,下面求 的分布函数,当 时，,当 时，,所以,概率 既可通过分布函数 来求，也可通过概率密度函数 来求,或,证明:,设 的概率密度函数为 ，对任意 ,有,由于,由夹逼准则,注： 并不表示 。,概率为0的