ch1控制系统的状态空间描述1至2节.ppt

1、状态变量和状态变量模型 2、状态空间表达式的建立 3、传递函数矩阵 4、状态空间表达式的线性变换,第一章 控制系统的状态空间描述,第一节 动态系统的状态变量和状态变量模型,动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。,术语： 状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在 tto时的全部输入信息。,状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。 完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t=to时输入的时间函数，那么，系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了。 最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。,状态空间：以状态变量 为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻 ，状态向量 是状态空间的一个点。,状态轨迹：以 为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。,状态向量：把 这几个状态变量看成是向量 的分量，则 称为状态向量。记作：,或：,状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：,其中n是状态变量个数，r是输入变量个数； 是线性或非线性函数。,通式为：,将通式化为矩阵形式有：,其中：,输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：,其中n是状态变量个数，r是输入变量个数，m是输出变量个数， 是线性或非线性函数。,通式为：,将通式化为矩阵形式有：,其中：,(2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。,(1)为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。,说明：,动态方程或状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：,其中：A、B、C、D矩阵含义同上。,(3) 定常系统： A,B,C,D各元素与时间无关； 时变系统： A,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数； 定常系统 ； 时变系统,(5)系统输出与状态的区别： 系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。,(4)非线性系统状态空间表达式： 和 是x与u的某类非线性函数。可以用线性系统来近似,常用符号：,系统动态方程的模拟结构图：,注:负反馈时为,注：有几个状态变量，就建几个积分器,积分器,比例器,加法器,小结：,第二节 状态空间表达式的建立,1、由系统物理机理建立动态方程 2、由微分方程建立动态方程 3、由传递函数建立动态方程（系统实现问题） 4、由结构图建立动态方程,状态变量的选取：建立状态空间表达式的前提,系统储能元件的输出 系统输出及其各阶导数 使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）,一、从系统物理机理建立动态方程 ：,1、RLC电网络系统。,2、机械运动系统。,例子：,电路如图1所示。请建立该电路以电压u1,u2为输入量，uA为输出量的状态空间表达式。,例1 ,图1,解： 1) 选择状态变量 两个储能元件L1和L2，根据P8表，可以选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。,2）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：,整理得：,3）状态空间表达式为：,例2 R-C-L 网络如图2所示。e(t)-输入变 量， -输出变量。试求其状态空间描述,解： 1.)确定状态变量 两个储能元件C和L，故选 和 为状态变量，组成状态向量 x= ,R1,L,uc,uR2,R2,c,ic,iL,图2,2.)根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：,将 代入上式，消去中间变量 ，并整理得：,所以状态方程为：,右电路图可知:,所以输出方程为：,所以系统各矩阵为：,例3试列出在外力f作用下，以质量 的位移 为输出的动态方程。,解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：,则有：,及：,将所选的状态变量,写成矩阵形式：,二、由微分方程写动态方程,线性定常系统的状态空间表达式为,在经典控制理论中,控制系统的时域模型为：,解决问题:选取适当的状态变量,并由 定出相应的系数矩阵A、B、C、D.,两类问题： 1、微分方程中不包含输入函数的导数项 2、微分方程中包含输入函数的导数项,微分方程形式:,1、微分方程中不包含输入函数的导数项,2.）将上两边对t求导，化为状态变量 的一阶微分方程组.,3.）化为向量矩阵形式： 状态方程为: 输出方程为:,5. ）说明： 状态变量是输出y及y的各阶导数 系统矩阵A特点：主对角线上方1个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，友矩阵或相伴矩阵。（注意：不要和逆阵中的伴随阵混淆）,4.）画模拟结构图：,例1 设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。,解：若选 ，可导出系数矩阵A，B，C,2、微分方程中包含输入函数的导数项,微分方程形式： 状态变量选择原则： 使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。,分析： 如果仍按照微分方程中不包含输入函数的导数项的方法，将输出及输出的各阶导数选为状态变量，则得到的状态方程的模拟结构图如下，,将该图进行等效变换，就是说，输入u的n阶导数经n个积分器后，以u的倍数形式，进入系统。则状态方程中就可以避免出现u的导数项。 有下图：,教材原图有错误,1.）选择状态变量 根据图1-20，可以这样选择状态变量:,式中系数 是待定系数.,整理(2)式得:,由结构图可以看出:,联立(3)式和(4)式，即可求得状态空间表达式为：,输出方程:,状态方程:,A仍然是友矩阵,从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了,由式(2)可以得到下式：,将式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：,为便于记忆，将上式写成：,例2 系统输出输入微分方程如下，求其状态空间表达式。,解： 系数:,按(8)式求得：,写出状态空间表达式:,说明： 这种形式很繁琐，需要记忆的东西太多。 解决方法：一般将微分方程转换为传递函数，由传递 函数来实现。,状态方程：,输出方程：,三、由传递函数列写状态空间表达式,传递函数的实现方式： 1）直接分解 2）串联分解 3）并联分解,（1）令,则：,（2）令,说明：再次表明了状态空间描述的非唯一性,则：,2、,无零点，仅有极点,（2）令,说明：无零点与有零点的不同，D0。 以上变换等同于传递函数的有效变换。,则：,2、串联分解的实现：,1)、,1、直接分解的实现,例 求以下传递函数的状态空间表达式。,3、写出动态方程：,说明： 根据3个子系统分配的位置不同，可以写出不同的动态方程,3、并联分解的实现：,不失一般性， 讨论此系统：,也有一个k重极点：,分析：,既有互异极点：,实现方法： 整理得,系数 为待定系数，其中 ，采用留数定理计算：,（2）对于重极点部分：,令,则：,联立上两式得：,拉氏反变换得：,联立(1)、(2)、(4)得：,由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：,例4 设 ,试求其状态空间描述.,解: 因式分解得 , 故求得系数c为,状态空间描述为：,四、由结构图求动态方程,例：结构图如下：,关键：将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换,图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图： 则有：,写成矩阵形式：,由系统的机理列写动态方程： 物理方程的罗列，状态变量的选择（任意，个数唯