夜大《高数》D(专升本)第二部分常.ppt

1,习题 7 5 (第 191 页),1. 求下列函数展开成麦克劳林级数并求其成立的区间:,2,习题 7 5 (第 191 页),3,4,第八章 微分方程,一、 微分方程的基本概念,5,(一)引例,解:,设曲线方程 y = y(x),由题意,且满足,由,例1.,已知一曲线通过点 (1, 2), 且在该曲线上,任一点M(x, y)处的切线斜率为其横坐标的 2 倍,求这曲线方程.,6,例2.,只在重力下(不计空气阻力), 一质量为 m 的,质点自由下落, 求质点运动的规律,(位置与时间的,解:,设物体下落的铅垂线为 x 轴, 向下为正,点 o 为质点运动的起点,由牛顿第二定律,F = ma,(a 加速度, F 作用力),质点只受重力作用,F = mg,关系).,x,o,则 x = x(t).,7,对 t 两次积分：,由初始时刻 t = 0, 质点的初始位置 x = 0 及初,始速度为 0, 即,8,(二)基本概念,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之,说明：,1. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,方程中可以不出现自变量 x 与未知函数 y,数或微分必须出现.,未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程,如,但 y 的导,定义:,间关系的方程, 称为微分方程. 其一般形式：,9,2. 方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数, 称为微分方程的阶.,如: 例1 为一阶, 例2 为二阶.,3. 能使方程成为恒等式的函数, 称为微分方程的解. 特别地：,(1) 带有与方程阶数相同个数的任意常数(且相互独立),n 阶方程的通解的一般形式：,的解称为微分方程的通解.,(2) 确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解.,请同学们讨论： 习题8-2 (第206页) 1,10,4.,由实际情况提出的可确定通解中任意常数的条,件称为初始条件.,初始条件个数 = 通解中任意常数个数 = 方程阶数,如:,求微分方程满足初始条件的特解问题, 称为微分方程的初值问题, 形式为：,11,证：,代入方程左端:,= 1,= 右端,证毕,12,解:,消去了 C1, C2 的关系式就是所要求的微分方程., ,即为所求微分方程.,13,一阶微分方程的一般形式:,二、一阶微分方程,一阶微分方程有时也可写成如下的对称形式:,两种形式是等价的.,(一) 变量可分离的微分方程,14,若一个一阶微分方程可化成,的形式,则称此方程为可分离变量的微分方程.,或,可分离变量方程的解法:,两边积分, 得,则有,为方程的隐式通解.,15,解:,+ C,即为所求微分方程的通解.,16,解:,所以所求特解：,17,3.,解:,其为所求微分方程的通解.,即,18,则称 f (x, y) 为 k 次齐次函数.,则 f (x, y) 为零次齐次函数,若方程可表为:,则称此方程为齐次微分方程.,的形式,(二) 齐次微分方程,且有,19,例:,解法：,分离变量:,(积分, 回代),齐次方程,齐次方程,20,解:,求下列微分方程的通解:,分离变量：,回代,即为所求通解.,21,分析:,计算比较繁琐,现把 x 与 y,的地位互换一下,从而有下列解法.,22,解:,分离变量:,所以所求通解:,23,2. 求微分方程满足所给初值条件的特解:,解:,则方程通解为,所以方程特解为,原齐次方程可化为,两边积分得,24,(三) 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的一般形式:,其中 P(x), Q(x) 为已知的连续函数.,说明：,一次, 故称为线性方程.,2) P(x), Q(x) 可为任意的连续函数.,1) 方程中未知函数 y 及其导数 的次数均为,25,3) 方程中 Q(x) 称为自由项或干扰项, 非齐次项.,称为一阶齐次线性方程.,称为一阶非齐次线性方程.,(1),(2),(1),变量可分离微分方程, (1) 的通解,26,先求出对应的齐次线性方程(1)的通解：,以 C(x)代替C, 即令,把所令 y 代入方程：,(C: 任意常数),得非齐次线性方程 (2) 的通解：,求出 C(x) :,(2),常数变易法,27,非齐次线性方程(2)的通解结构:,= I + II,非齐次通解,y,=,+,=非齐次特解,+对应齐次通解,28,例1：,解：,x,29,例2：,解:,30,例2：,31,所以,则所求的特解为,例2：,32,例3.,解:,33,课 外 作 业,习题8-3 (第212页),1(3), 2(2), 4(2), 5(1),34,二阶及二阶以上的微分方程统称为,高阶微分方程。,二阶微分方程的一般形式：,主要介绍：,(1) 可降阶的二阶微分方程；,(2) 二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程。,35,三、 可降阶的高阶微分方程,36,(一),所以,同理可得,依次通过n次积分, 可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,37,例：,解：,+ C1 ;,+ C1 x + C2 ;,+ C3 .,38,方程中不出现未知函数 y .,解法：,变量代换，降阶,代入方程：,为一阶微分方程，,解此一阶微分方程，,特点：,最后得原方程通解：,39,1.,变量可分离方程,解：,P = C1 x , 即,40,1.,解：,由初值条件得：,则所求特解为,41,2.,解：,一阶非齐次线性方程,42,课 外 作 业,习题5-6(3) (第135页),1(1, 6), 3,43,四、二阶线性微分方程解的性质与通解结构,未知函数及其各阶导数都是一次的方程，称,n 阶线性微分方程的一般形式是：,称其为齐次线性微分方程；,称其为非齐次线性微分方程。,为线性微分方程。,44,二阶齐次线性微分方程：,二阶非齐次线性微分方程：,(1),(2),引进记号L：,则 (1),(2),45,定理1：,设 y1, y2 是 L y = 0 (1) 的两个解，,也是(1)的解，,其中C1,C2 为任意常数。,是否就是(1)的通解？,则,齐次线性微分方程解的叠加原理,46,如：,设 y1 是L y = 0 的解，,则由定理1，,也是 L y = 0 的解。,但不是 L y = 0 的通解。,y1, y2 究竟满足什么条件，才能使其组合为,方程的通解？,则 y2 = 2y1也是其解，,47,定义：,n 个函数，如果存在 n 个不全为零的常数,使得当 x 在该区间内取值时，,成立，就称这,n 个函数在区间 I 内线性相关；否则，,称线性无关。,48,在任何区间a ,b上都是线性无关的。,例：,这三个函数在整个数轴上,是线性相关的。,49,定理2：,(二阶齐次线性微分方程通解的结构定理),设 y1与 y2 是 (1) 的两个线性无关的特解，,则,(C1, C2 为任意常数),就是二阶齐次线性微分方程 (1) 的通解。,例：对,都是方程解，,50,特解，,定理3：,(二阶非齐次线性微分方程通解的结构定理),是二阶非齐次线性微分方程(2)的一个,是其所对应的齐次线性微分方程,的通解，则,方程(2) 的通解。,(1),非齐次(2)通解 = 对应齐次(1)通解(2)特解,是非齐次线性微分,51,定理4：,(广义迭加原理),例：,易证,52,例：,又显然,53,习题 5 6 (2) (第 132 页),1. 求下列微分方程的通解:,可分离变量的微分方程,分离变量, 得,两边积分, 得,即为所求通解.,54,原方程可化为,齐次方程,可分离变量的微分方程,得,55,即为所求通解.,56,3. 求下列微分方程的通解:,一阶非齐次线性微分方程,所以所求通解为,57,4. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:,所以通解为,58,4. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:,所以通解为,则所求特解为,59,习题 5 6 (3) (第 135 页),1. 求下列微分方程的通解:,则所求通解为,60,所求通解为,原方程可化为,61,62,五、二阶常系数线性齐次微分方程的解法,二阶线性微分方程：,齐次：,非齐次：,(1),(2),称为二阶常系数线性微分方程。,63,(一) 特征方程,求二阶常系数齐次线性微分方程,(1),由(1)的特点，,用指数函数,（其中 p, q 为常数）的通解。,进行尝试，r = ?,是方程 (1) 的解。,代入方程：,(*) 称为方程(1) 的特征方程。,则,得：,64,特点：, (*) 中 r 2 , r, r 0 的系数就是 (1), 一元二次方程 (*) 的根,微分方程,(1),特征方程,是两个不相等的实根；,是两个相等的实根；,是一对共轭复根，,65,(二) 特征方程的根与微分方程解的关系,是齐次线性微分方程(1)的解，, 常数，,即 y1, y2 线性无关。由定理二，,(1) 的通解：,(a) 当,66,(b) 当,y1, y2 线性相关，,另找 y2 ，使与 y1 线性无关。,(1) 的通解：,把 y2 代入方程, 得,67,(c) 当,由欧拉公式：,再由解的叠加原理，,也是(1)的解，, (1) 的通解：,68,通解的步骤：,写出对应的特征方程：,(1),(2),(3),求出特征根：,根据下表写出方程 (1) 的通解：,(1),(实数),69,例1：,求下列微分方程的通解：,解：,特征方程：,解：,特征方程：,为通解。,为通解。,70,3.,为通解。,为通解。,特征方程：,特征方程：,解：,解：,4.,71,例2：,解：,特征方程：,为通解。,为所求特解。,72,课 外 作 业,习题11-1 (第304页),1(1, 2, 4), 2(1, 2),73,(六)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,一般形式：,（ p, q 为常数 ）,对应齐次微分方程：,其特征方程：,(1),(*),由非齐次(2)的通解结构知：,如何求,?,对两种常见的 f (x),利用待定系数法求,74,分析：,如 y*与 f (x) 属同一形式函数，就能,使方程成立。,f (x)是 m 次多项式与指数函数的乘积，,推测,其中 Q(x) 是待定的 x 的多项式。,75,(),即为 Q(x) 所需满足的条件。,分三种情况讨论：,不是特征方程,的根。,要使 () 成立，,必须 Q(x) 与 Pm(x) 同次，,76,(),是特征方程,的单根。,(),要使 () 成立，必须,77,(),(),是特征方程,的二重根。,要使 () 成立，必须,78,求其特解，, 当 不是特征方程的根时，取, 当 是特征方程的单根时，取, 当 是特征方程的二重根时，取,k = 0;,k = 1;,k = 2.,79,例1. 求下列微分方程的一个特解：,解：,其对应的齐次方程的特征方程为,不是特征方程的根，,80,代入上式，得,即,81,例2：,求下列各方程的通解：,(1),解：, 求出对应齐次微分方程的通解, 求原方程的特解,不是特征方程的根，,82,代入原方程:,比较系数:,83,(2),解：,步骤：, 求, 求, 求, 得原方程通解:,84, 特征方程：, 对,不是特征