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多元函数微分学,2012数学竞赛辅导 第七讲,一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）,二、偏导数与全微分的计算,四、应用（极值、切线、切平面）,三、方向导数和梯度,一、重极限、连续、偏导数、全微分 （概念，理论）,是以“任意方式”,1重极限,题型一：求极限,常用方法：,1）四则运算法则及复合函数运算法则； 2）等价无穷小代换； 3）利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 4）夹逼定理；,例1. 求,0,例4 .(江苏2000竞赛),A. 等于1； B.等于0； C.等于-1； D.不存在,D,例2. 求,0,例3. 求,=e,练习 求,=0,题型二：证明重极限不存在,常用方法：,2) 沿某一路径极限不存在.,例5 判断函数,练习 证明重极限不存在,2. 连续,3.偏导数,例6,练习：,几何意义,例7.,则在下列,A.,B.,C.,D.,C,条件中能保证,4.全微分 1) 定义: 若,2) 判定:必要条件:,充分条件:,是否为零?,ii）,用定义判定可微性：,3) 计算：,5.连续、偏导存在和可微的关系,题型三 讨论连续性、可导性、可微性,例8.,C,D,例9,A. 极限存在但不连续,B. 连续但偏导数不存在,C. 偏导存在但不可微,D. 可微,例10,例11,练习,练习2,二 偏导数与全微分的计算,根据结构图， “分线相加，连线相乘” “分路偏导，单路全导”,对抽象或半抽象函数，注意,1. 复合函数求导,2.全微分形式不变性,3.隐函数求导法,方法:,（b）两边求偏导,（c）利用微分形式不变性:,(1),（a）公式:,(2),方法：两边求偏导；利用全微分形式不变性,例12 设,题型一 求一阶偏导数与全微分,例13.,例14 .(江苏06竞赛),练习：,B,练习：,例15.,D,题型二 复合函数的偏导数与高阶偏导数,练习. (07数一),练习.,练习.,设,具有二阶连续偏导数,且满足,又,求,例16,例17.,注： 偏导数的坐标变换-看作复合函数求偏导数或全导,2：,例18.(江苏08竞赛),练习1：,3：,题型三 隐函数的偏导数与全微分,例19.,A. 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数,B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数,C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数,D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数,D,例20.,例21.,练习.,例22 (99数一).,题型四 已知偏导数，求函数.,例23,例24.,例25.,练习：,例26.,三、 方向导数和梯度,1.方向导数,1)定义:,可微,则,2)计算: 若,2.梯度,计算,A)不连续; B)偏导数存在; C)沿任一方向的方向导数不存在; D)沿任一方向的方向导数均存在;,在点(0,0)处,例27 函数,( ),D,D,练习.,练习：,例29,练习：,四、 多元函数微分学的应用,1. 曲面的切平面与法线,2. 曲线的切线与法平面,法向量:,2) 曲面,1) 曲面,2)曲线,切向量:,1)曲线, 切向量:,练习：,题型一 建立曲面的切平面和法线方程,例30.,例31.,练习,练习,题型二 建立空间曲线的切线和法平面方程,练习(03数一),3. 极值与最值,1).无条件极值,；,必要条件,充分条件,2). 条件极值与拉格朗日乘数法,3).最大最小值,题型一 求无条件极值,1) 在点,处,极大值,2) 在点,处,极小值,解2 配方,解1 ： 驻点,例33.,D,注： 通过变形（如取对数,去根号）,把复杂函数转化为简单函数是极值问题的常用技巧。,例34.,例35,例36,B,例37,解法1:保号性 解法2:排除法 解法3：特殊函数,D,练习（03数一）,A,题型三 求最大最小值,题型二 求条件极值,练习 求函数,在条件,下的极值.,解法2: 化为无条件极值.,解法1: 拉格朗日乘数法,极小值,8, 0,练习,B,例38.,A. 最大最小值点都在D的内部;,B. 最大最小值点都在D的边界上;,C. 最大值