世纪金榜二轮专题辅导与练习专题四第三讲.ppt

第三讲 与数列交汇的综合问题,1.(2013南京模拟)设等比数列an的前n项和为Sn(nN*)， 若S3,S9,S6成等差数列，则 的值是_.,【解析】依题设知，2S9=S3+S6,显然公比q1, 所以 即2(1-q9)=1-q3+1-q6, 所以2q9=q3+q6. 又因为q0,所以2q6=1+q3, 答案：,2.(2013天津模拟)在等差数列an中，a1=1,a7=4,数列bn 是等比数列，且b1=6,b2=a3,则满足bna261的最小正整数n为 _. 【解析】因为等差数列an中，a1=1,a7=4, 所以1+6d=4,解得 因为数列bn是等比数列，且b1=6,b2=a3, 所以,解得 因为bna261, 所以 整理，得 所以n-14,解得n5, 所以最小正整数n=6. 答案：6,3.(2013昆明模拟)已知数列an为等比数列，且a1a13+2a72 =5，则cos(a2a12)的值为_. 【解析】在等比数列中, a1a13+2a72=a72+2a72=3a72=5，所以a72= 所以cos(a2a12)=cos(a72)= 答案:,4.(2013青岛模拟)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c的值为_.,【解析】由题意知2a=1，所以 第三列和第五列的公比都 为 设第四行第五列数为m，则 所以 即 所以 答案:1,5.(2013安庆模拟)已知数列an的前n项和是Sn，且 (nN*). (1)求数列an的通项公式. (2)设bn=log3(1-Sn+1)(nN*)，求适合方程 的正整数n的值.,【解析】(1)当n=1时，a1=S1，由 得 当n2时，因为 所以 所以 所以an是以 为首项， 为公比的等比数列. 故,(2) bn= 解方程 得n=100.,热点考向 1 数列与函数的综合 【典例1】(1)(2013黄冈模拟)设函数f(x)=2x-cos x,g(x)= 2x+sin x,数列an是公差为 的等差数列，若 则 (2)已知函数f(x)= M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)图象上 的两点，横坐标为 的点P是线段MN的中点.,求证：y1+y2为定值； 若 求Sn； 在的条件下，若 Tn为数列an的前n项的和，若Tnm(Sn+1+1)对一切 nN*都成立，试求实数m的取值范围.,【解题探究】 (1)求 的关键点. 由g(x)=2x+sin x知 =,(2)根据点P是线段MN的中点，可得x1+x2是多少？ 提示：x1+x2=1. 根据x1+x2=1，y1+y2为定值及 可采用什么方法求 Sn？ 提示：倒序相加法.,求实数m取值范围的步骤： ()求an:当n2时，an= ,当n=1时，a1= 适合上式. ()求Tn:Tn= . ()分离参数m:根据Tnm(Sn+1+1),可得m 即 m . ()求最值，确定m的范围：利用m大于 的最大值，求 m的范围.,【解析】(1)由g(x)=2x+sin x知 所以由 得 答案：0,(2)由已知可得，x1+x2=1, 所以 = 由知当x1+x2=1时, y1+y2=f(x1)+f(x2)=1. Sn=,Sn= (b) (a)+(b)得 当n2时， an= 又当n=1时， 所以 故,因为Tnm(Sn+1+1)对一切nN*都成立， 即 恒成立， 又 所以m的取值范围是,【方法总结】数列与函数交汇问题的常见类型及解法 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题. (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解.,【变式训练】(2013启东模拟)已知无穷数列an中， a1,a2,，am是首项为10，公差为-2的等差数列；am+1,am+2, ，a2m是首项为 公比为 的等比数列(其中m3,mN*)， 并对任意的nN*，均有an+2m=an成立. (1)当m=12时，求a2 010. (2)若a52= 试求m的值. (3)判断是否存在m(m3,mN*)，使得S128m+32 010成立？ 若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由.,【解析】(1)当m=12时，数列an的周期为24. 因为2 010=2483+18,而a18是等比数列中的项， 所以a2 010=a18=a12+6= (2)设am+k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am+k= 因为 所以等比数列中至少有7项，即m7，则一个 周期中至少有14项. 所以a52最多是第三个周期中的项. 若a52是第一个周期中的项，则a52=am+7= 所以m=52-7=45;,若a52是第二个周期中的项，则a52=a3m+7= 所以3m=45,m=15; 若a52是第三个周期中的项，则a52=a5m+7= 所以5m=45,m=9; 综上，m=45或15或9.,(3)2m是此数列的周期. 所以S128m+3表示64个周期及等差数列的前3项之和. 所以S2m最大时，S128m+3最大. 因为S2m=,当m=6时,S2m=31- 当m5时，S2m 当m7时，S2m-(7- )2+ 所以当m=6时，S2m取得最大值，则S128m+3取得最大值为 64 +24=2 007. 由此可知，不存在m(m3,mN*)，使得S128m+32 010成立.,热点考向 2 数列与解析几何的综合 【典例2】在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2), Pn(xn,yn),对一切正整数n,点Pn位于函数 的图象 上，且Pn的横坐标构成以 为首项，-1为公差的等差数列xn.,(1)求点Pn的坐标. (2)设抛物线列c1,c2,c3,cn,中的每一条的对称轴都垂直 于x轴,第n条抛物线cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛物 线cn相切于Dn的直线的斜率为kn,求:,【解题探究】 (1)求点Pn坐标的两个步骤： 求横坐标xn：xn= ； 求纵坐标yn：根据点Pn在函数 的图象上可求得 yn= .,(2)求kn的四个关键点: 根据抛物线cn的顶点为Pn,可设抛物线方程为 ； 根据抛物线cn过点Dn(0,n2+1),可求得a=_； 根据导数的几何意义可求得kn=_； 根据和式的结构特点,求和的方法是_.,2n+3,裂项相消法,1,【解析】(1) 所以 所以 (2)因为cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn. 所以设cn的方程为： 把Dn(0,n2+1)代入上式，得a=1,所以cn的方程为：y=x2+(2n+3)x+n2+1. kn=y|x=0=2n+3, 所以 所以 = =,【方法总结】求解点列问题的关键及规律 (1)关键：寻求点的横坐标或纵坐标之间的关系. (2)规律：根据横坐标或纵坐标的关系将其转化为等差或等比数列或数列求通项及求和问题，进行求解.,【变式训练】已知曲线C：xy=1,过C上的点An(xn,yn)作斜率为 的直线交曲线C于另一点An+1(xn+1,yn+1)，点列An 的横坐标构成数列xn，其中 (1)求xn与xn+1的关系式. (2)令 求证：数列bn是等比数列. (3)若cn=3n-tbn(t为非零整数，nN*)，试确定t的值，使得对 任意nN*，都有cn+1cn成立.,【解析】(1)依题意知，过An(xn,yn)的直线方程为 联立方程 消去y得 所以xnxn+1=xn+2,即,(2)因为 所以 所以数列bn是首项为 公比为q=-2的等比数列.,(3)由(2)知,bn=(-2)n,要使cn+1cn恒成立, 由cn+1-cn=3n+1-t(-2)n+1-3n-t(-2)n =23n+3t(-2)n0恒成立. 即 恒成立. 当n为奇数时，即 恒成立. 又 的最小值为1，所以t1.,当n为偶数时，即 恒成立， 又 的最大值为 所以 即 又t为非零整数， 所以t=-1，使得对任意nN*，都有cn+1cn.,热点考向 3 数列与不等式的综合 【典例3】(2013宁波模拟)设公比大于零的等比数列an的前n项和为Sn,且a1=1,S4=5S2,数列bn的前n项和为Tn,满足b1=1,Tn=n2bn,nN*. (1)求数列an,bn的通项公式. (2)设cn=(Sn+1)(nbn-),若数列cn是单调递减数列,求实数的取值范围.,【解题探究】 (1)数列an,bn的通项公式的求解思路: 等比数列an中,由a1=1,S4=5S2可得关于公比q的方程为 ,从而可求得q=_; 数列bn中,由Tn=n2bn可得Tn-1=_,从而可得 = (n1),故可用_求bn.,2,(n-1)2bn-1,累乘法,(2)求实数的取值范围的三个关键点： 把cn用n,表示为 计算cn+1cn= ； 由数列cn是单调递减数列可知,cn+1-cn0对nN*都成立,把 所求问题转化为求函数的最值问题.,【解析】(1)由S4=5S2，q0,知q0且q1，所以 所以q=2,an=2n-1, 又 则得 所以 当n=1时也满足.,(2)Sn=2n1，所以 若数列cn是单调递减数 列， 则 对nN*都成立， 即 当n=1或2时， 所以,【方法总结】 1.证明与数列交汇的不等式问题的常用方法 (1)作差比较法证明. (2)判断数列的单调性，根据数列的取值范围证明. (3)合理利用放缩法证明.,2.数列中不等式的放缩技巧 (1) (2) (3) (4)利用(1+x)n的展开式进行放缩,【变式训练】(2013南通模拟)已知数列an满足：a1=a+2(a0),an+1= nN*. (1)若a=0,求数列an的通项公式. (2)设bn=|an+1-an|，数列bn的前n项和为Sn, 证明：Sna1.,【解析】(1)若a=0时，a1=2,an+1= 所以2an+12=an,且an0. 两边取对数，得lg 2+2lg an+1=lg an, 化为lg an+1+lg 2= (lg an+lg 2), 因为lg a1+lg 2=2lg 2, 所以数列lg an+lg 2是以2lg 2为首项， 为公比的等比数列. 所以lg an+lg 2= 所以an=,(2)由an+1= 得2an+12=an+a, 当n2时，2an2=an-1+a, -，得2(an+1+an)(an+1-an)=an-an-1, 由已知得an0,所以an+1-an与an-an-1同号. 因为a2= 且a0，所以a12-a22=(a+2)2-(a+1)=a2+3a+30 恒成立，,所以a2-a10,所以an+1-an0. 因为bn=|an+1-an|,所以bn=-(an+1-an), 所以Sn=-(a2-a1)+(a3-a2)+(an+1-an) =-(an+1-a1)=a1-an+1a1.,【典例】设数列bn的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn;数列an为等 差数列,且a5=14,a7=20. (1)求数列bn的通项公式. (2)若cn=anbn(n=1,2,3,),Tn为数列cn的前n项和,求证:,【解析】(1)由bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以 当n2时,由bn=2-2Sn,可得bn-1=2-2Sn-1,所以bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1) =-2bn,即 所以bn是以 为首项， 为公比的等比数列，于是,(2)由数列an为等差数列，且a5=14,a7=20,可得公差 可得an=3n-1,从而cn=anbn= 所以 所以,所以 = 则 所以 所以数列Tn单调递增. 所以TnT1,而 即 成立.,【方法总结】证明不等式的常用方法 (1)比较法:最基本的方法是作差比较法. (2)分析法与综合法:一般是利用分析法分析,再利用综合法证明. (3)反证法:常用来证明一些否定性命题. (4)放缩法:主要是通过分子、分母的扩大或缩小，项数的增加与减少等手段达到证明的目的.,函数与方程思想 解决数列中的最值问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)数列中的恒成立问题的求解.(2)数列中最大项与最小项问题的求解.(3)数列中前n项和的最值问题.(4)证明不等式时构建函数求最值(值域). 2.解题思路：结合条件与待求问题，把所求问题转化为关于n的函数或方程问题求解.,3.注意事项：(1)数列是定义在N*或其子集上的特殊函数，因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求. (2)求解过程中要注意项数n的取值范围，防止出错.,【典例】 (14分)(2013天津模拟)已知函数f(x)=logmx(m为常数，0m 1)，且数列f(an)是首项为2，公差为2的等差数列. (1)若bn=anf(an)，当 时，求数列bn的前n项和Sn. (2)设cn=anlg an，如果cn中的每一项恒小于它后面的项， 求m的取值范围.,【审题】分析信息，形成思路 (1)切入点：求f(an)，进而求出an； 关注点：求Sn时应注意求和方法的选择. (2)切入点：根据an求cn,把恒成立问题转化为求函数的最值问题； 关注点：根据函数的单调性求最值.,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)由题意f(an)=2+(n-1)2=2n, 即logman=2n, 所以an=m2n. bn=anf(an)=2nm2n, 当 时， 2分 所以 (),() ()()，得 = 5分 所以 7分,(2)由(1)知,cn=anlgan=2