2014高考百天仿真冲刺卷（理科数学试卷二）

第 1 页 共 11 页 2014 高考百天仿真冲刺卷 数 学 (理 ) 试 卷 （ 二 ） 第 卷 （ 选择题 共 40分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1若集合2| , M y y x x R，| 2, N yy x R，则 MNI等于 （ A） 0, （ B）( , ) （ C） （ D） (2, 4)，( 1, 1) 2 某校高三 一班有学生 54 人，二班有学生 42 人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出 16 人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （ A） 8， 8 （ B） 10， 6 （ C） 9， 7 （ D） 12， 4 3极坐标方程4cos化为直角坐标方程 是 （ A）22( 2) 4xy （ B）4xy （ C）22( 2) 4 （ D）22( 1) ( 1) 4 4 已知na是由正数组成的等比数列， nS表示na的前 项的和 若 13a ， 24144aa，则 10S的值是 （ A） 511 （ B） 1023 （ C） 1533 （ D） 3069 5函数)2(cos 2 xy的单调增区间是 （ A）( , )2kk kZ （ B）( , )2 kk kZ （ C）(2, 2)k （ D）(2, 2 2)kkk 6已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三 角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积 等于 （ A）612 （ B）33 （ C）64 （ D）233 7如图，双曲线的中心在坐标原点 O，, AC分别是双曲线虚轴的上、下顶点， B是双曲线的左顶点， F为双曲线的左焦点，直线 AB与 FC相交于点 D.若双曲线的离心率为 2，则 BDF的余弦值是 （ A）77 （ B）577 （ C） 714 （ D） 14 8定义区间( , )ab， , )，( , ab， , 的长度均为d b a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如 , (1, 2) 3, 5)的长度(21) (5 3) 3d. 用x表示不超过 x的最大整数，记 x x x，其中 xR. 设( ) f x x x，( ) 1gx x，若用 1 2 3,d d d分别表示不等式( ) ( )f x g，方程( ) ( )f x gx，不等式( ) ( )f x gx解集区间的长度，则当 0 2011x 时，有 侧视图 正视图 1 俯视图 x y O C B A F D 第 2 页 共 11 页 （ A） 1 2 31, 2, 2008d d d （ B） 1 2 31, 1, 2009d d d （ C） 1 2 33, 5, 2003d d d （ D） 1 2 32, 3, 2006d d d 第 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 .把答案填在题中横线上 . 9复数 13iz ， 21iz ，则12zz等于 . 10在二项式6( 2)x的展开式中，第四项的系数是 . 11如 下 图，在三角形 ABC中， D， E分别为 BC， AC的中 点， F为 AB上的点，且 B4A AF. 若AD xAF yAE ，则实数 x ，实数y . 12执行右图所示的程序框图，若输入 5.2x， 则输出y的值为 13如下图，在圆内接四边形 ABCD中 , 对角线, ACBD相交于 点 E已知 23BC， 2AE EC， 30BD， 则 CAB ， AC的长是 14对于各数互不相等的整数数组),( 321 niiii ( n是不小 于 3 的正整数 )，对于任意的, ,2, , , pq n，当qp时有 qpii ，则称 pi， qi是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（ 2， 4， 3， 1）中的逆序数等于 ；若数组 1 2 3( , , , , )ni i i i中的逆序数为 n，则数组 11( , , , )nni i i中的逆序数为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15（本小题满分 13分） 在锐角 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c已知3cos 2 4C . （）求 sin； （）当 2ca，且 37b时，求 a. A B C D E F 开始 输入 x 是 ?i 5 输出y 结束 xy | 2|yx 否 0, 0yi 1ii 第 3 页 共 11 页 16（本小题满分 13分） 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 为直角梯形，且 /A BC， 90A PAD ，侧面 PAD底面 ABCD. 若12PA AB BC AD . （）求证： CD平面 PAC； （）侧棱 PA上是否存在点 E，使得 /BE平面 PCD？若存在，指出点 E 的位置并证明，若不存在，请说明理由； （）求二面角 APDC的余弦值 . 17（本小题满分 13分） 在某校教师趣味投篮比赛中 ,比赛规则是 : 每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖；否则不获奖 . 已知教师甲投进 每 个球 的概率 都 是23 （ ） 记教师甲在每场的 6次投球中投进球的个数为 X，求 X的 分布列及 数学期望 ； （ ） 求教师甲在一场比赛中获奖的概率； （ ） 已知教师乙在某场比赛中， 6个球中恰好投进了 4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师 乙 在这场比赛中获奖 的概率 与教师 甲 在一场比赛中获奖 的概率 相等吗？ A B P C D 第 4 页 共 11 页 18（本小题满分 13分） 已知函数2( ) ln 2 0)f x a x ax (. （ ）若曲线 ()y f在点 (1, (1)Pf处的切线与直线 2yx垂直，求函数 ()y f x的单调区间； （）若对于 (0, )x 都有) 2( 1)f x a成立，试求 a的取值范围； （）记() () ( )gx fx x b b R .当 1a时，函数()gx在区间1 , ee上有两个零点，求实数 b的取值范围 . 19（本小题满分 14分） 已知( 2, 0)A，(2, 0)B为椭圆 C的左、右顶点， F为其右焦点， P是椭圆 C上异于 A， B的动点，且 APB面积的最大值为 23 （ ）求椭圆 C的方程及离心率； （）直线 AP与椭圆在点 B处的切线交于点 D，当直线 AP绕点 A转动时，试判断以 BD为直径的圆与直线 PF的位置关系，并加以证明 第 5 页 共 11 页 20（本小题满分 14分） 有 n个首项都是 1的等差数列，设第 m个数列的第 k项为 mka(, 1,2,3, , , 3)mk nn ，公差为 md，并且 1 2 3, , , ,n n n nna a a a成等差数列 （）证明 1 1 2 2md pd pd （ 3 mn ， 12,pp是 m的多项式），并求 12pp的值； （）当 121, 3dd时，将数列md分组如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9( ), ( , , ), ( , , , , ),d ddd ddddd(每组数 的个数构成等差数列 ) 设前 m组中所有数之和为4( ) ( 0)mmcc，求数列2 mc md的前 n项和 nS （）设 N是不超过 20 的正整数，当 nN时，对于（）中的 nS，求使得不等式 1 ( 6)50 nnSd成立的所有 的值 2013 高考百天仿真冲刺卷 数学 (理 )试卷（ 二 ）参考答案 一、选择题 : 题号 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） 答案 A C A D A B C B 二、填空题 : 题号 （ 9） （ 10） （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） 答案 1+2i 160 2 1 0.8 30 6 4 2 32nn 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分 . 15（本小题满分 13分） 解：（）由已知可得 2 31 2 s i n4C .所以 2 7sin8C . 因为在 ABC 中 ， sin 0C ， 第 6 页 共 11 页 所以 14sin4C . 6分 （）因为 2ca ，所以 1 1 4s i n s i n28AC. 因为 ABC 是锐角三角形，所以 2cos4C ， 52cos8A . 所以 s i n s i n ( )B A Cs i n c o s c o s s i nA C A C 1 4 2 5 2 1 48 4 8 4 378 . 由正弦定理可得： 37sin sinaBA，所以 14a . 13分 16（本小题满分 13分） 解法一： （）因为 90PAD ，所以 PA AD . 又因为侧面 PAD 底面 ABCD ，且侧面 PAD 底面 A B C D A D ， 所以 PA 底面 ABCD . 而 CD 底面 ABCD ， 所以 PA CD . 在 底 面 ABCD 中 ， 因 为 90A B C B A D ，12A B B C A D ， 所以 22A C C D A D， 所以 AC CD . 又 因 为 PA AC A ， 所以 CD 平面PAC . 4 分 （）在 PA 上存在中点 E ，使得 /BE 平面 PCD ， 证明如下：设 PD 的中点是 F ， 连结 BE ， EF ， FC ， 则 /EF AD ，且 12EF AD. 由已知 90A B C B A D ， 所以 /BC AD . 又 12BC AD， 所以 /BC EF ，且 BC EF ， 所以四边形 BEFC 为平行四边形，所以 /BE CF . 因为 BE 平面 PCD ， CF 平面 PCD ， 所以 /BE 平面 PCD . 8分 （）设 G 为 AD 中点，连结 CG ， 则 CG AD . 又因为平面 ABCD 平面 PAD ， 所以 CG 平面 PAD . 过 G 作 GH PD 于 H ， 连结 CH ，由三垂线定理可知 CH PD . 所以 GHC 是二面角 A PD C的平面角 . 设 2AD ，则 1P A A B C G D G , 5DP . E F A B P C D G H A B P C D 第 7 页 共 11 页 在 PAD 中， GH DGPA DP，所以 15GH. 所以 t a n 5CGGHCGH ， 6c o s6GHC. 即二面角 A PD C的余弦值为 66. 13分 解法二： 因为 90PAD ， 所以 PA AD . 又因为侧面 PAD 底面 ABCD ， 且侧面 PAD 底面 A B C D A D ， 所以 PA 底面 ABCD . 又因为 90BAD ， 所以 AB ， AD ， AP 两两垂直 . 分别以 AB ， AD ， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图 . 设 2AD ，则 (0, 0, 0)A ， (1, 0, 0)B ， (1, 1, 0)C ， (0, 2, 0)D ， (0, 0, 1)P . （） (0 , 0 , 1)AP ， (1, 1, 0 )AC ， ( 1, 1, 0 )CD , 所以 0AP CD， 0AC CD，所以 AP CD ， AC CD . 又因为 AP AC A ， 所以 CD 平面 PAC . 4分 （）设侧棱 PA 的中点是 E ， 则 1(0, 0, )2E， 1( 1, 0 , )2BE . 设平面 PCD 的一个法向量是 ( , , )x y zn ，则 0,0.CDPD nn 因为 ( 1, 1, 0 )CD ， ( 0 , 2 , 1)PD ， 所以 0,2 0.xyyz 取 1x ，则 (1, 1, 2)n . 所以 1(1 , 1 , 2 ) ( 1 , 0 , ) 02BE n， 所以 BEn . 因为 BE 平面 PCD ，所以 BE 平面 PCD . 8分 （）由已知， AB 平面 PAD ，所以 (1, 0 , 0 )AB 为平面 PAD 的一个法向量 . 由（）知， (1, 1, 2)n 为平面 PCD 的一个法向量 . 设二面角 A PD C的大小为 ，由图可知， 为锐角， 所以 ( 1 , 1 , 2 ) ( 1 , 0 , 0 ) 6c o s661ABAB nn. 即二面角 A PD C的余弦值为 66. 13 分 17（本小题满分 13分） 解： （ ） X的 所有可能取值为 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6. 依条件可知 X B(6， 23). z y x A B P C D 第 8 页 共 11 页 6621()33kkkP X k C ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6k ) X的 分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 P 1729 12729 60729 160729 240729 192729 64729 所以 1 ( 0 1 1 1 2 2 6 0 3 1 6 0 4 2 4 0 5 1 9 2 6 6 4 )729EX = 29164729. 或因为 X B(6， 23)，所以 2643EX . 即 X的数学期望 为 4 5分 （ ）设 教师 甲 在一场比赛中获奖 为事件 A， 则 2 2 4 1 5 6441 2 1 2 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .3 3 3 3 3 8 1P A C C 答：教师 甲 在一场比赛中获奖的概率 为 32.81 10分 （ ）设 教师 乙 在这场比赛中获奖 为事件 B， 则 2444662()5AAPBA. 即教师 乙 在这场比赛中获奖 的概率为 25. 显然 2 32 325 80 81，所以教师 乙 在这场比赛中获奖 的概率 与教师 甲 在一场比赛中获奖 的概率 不相等 13分 18（本小题满分 13分） 解 : (I) 直线 2yx 的斜率为 1. 函数 ()fx 的定义域为 (0, ) ， 因为22() afx xx ， 所以22(1 ) 111af ，所以 1a . 所以 2( ) l n 2f x xx . 22() xfx x . 由 ( ) 0fx 解得 2x ；由 ( ) 0fx 解得 02x . 所以 ()fx 的单调增区间是 (2, ) ,单调减区间是 (0,2) . 4分 (II) 22()a a xfx x x x ， 由 ( ) 0fx 解得 2xa；由 ( ) 0fx 解得 20 xa . 所以 ()fx 在区间 2( , )a 上单调递增，在区间 2(0, )a上单调递减 . 所以当 2xa时，函数 ()fx 取得最小值，min 2()yfa. 因为对于 (0, )x 都有 ( ) 2 ( 1)f x a成立， 所以 2( ) 2 ( 1)faa 即可 . 则 22l n 2 2 ( 1 )2 aaaa . 由 2lnaaa 解得 20 ae . 第 9 页 共 11 页 所以 a 的取值范围是 2(0, )e. 8分 (III)依题得 2( ) l n 2g x x x bx ，则 222() xxgx x . 由 ( ) 0gx 解得 1x ；由 ( ) 0gx 解得 01x. 所 以函数 ()gx 在 区间 (0, 1) 为减函数，在 区间 (1, ) 为增函数 . 又因为函数 ()gx 在 区间 1 , ee 上有两个零点，所以1( ) 0,( ) 0, (1) 0. gegeg 解得 211bee . 所以 b 的取值 范 围是 2(1, 1ee . 13分 19（本小题满分 14分） 解：（）由题意可设椭圆 C 的方程为 22 1 ( 0 )xy abab ， ( ,0)Fc 由题意知 解得 3b ， 1c 故椭圆 C 的方程为 22143xy，离心率为 12 6分 （）以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切 证 明 如 下 ： 由 题 意 可 设 直 线 AP 的 方 程 为( 2)y k x( 0)k . 则点 D 坐标为 (2, 4 )k ， BD 中点 E 的坐标为 (2, 2 )k 由 22( 2 ),143y k xxy 得 2 2 2 2( 3 4 ) 1 6 1 6 1 2 0k x k x k 设点 P 的坐标为00( , )xy，则 20 21 6 1 22 34kx k 所以 20 26834kx k ，00 212( 2 ) 34ky k x k 10 分 因为点 F 坐标为 (1, 0) ， 当 12k时，点 P 的坐标为 3(1, )2，点 D 的坐标为 (2, 2) . 直线 PF x 轴，此时以 BD 为直径的圆 22( 2 ) ( 1 ) 1xy 与直线 PF 相切 当 12k时，则直线 PF 的斜率0 2041 1 4PFy kk xk. 所以直线 PF 的方程为24 ( 1 )14kyxk 2 2 21 2 2 3 ,22 , . abaa b c O FEPDBAyx第 10 页 共 11 页 点 E 到直线 PF 的距离222228421 4 1 416 1(1 4 )kkkdkk32222814 2 | |14| 1 4 |kkk kkk 又因为 | | 4 | |BD k ，所以 1 |2d BD 故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切 综上得，当直线 AP 绕点 A 转动时，以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切 14 分 20（本小题满分 14分） 解：（）由题意知 1 ( 1)m n ma n d 2 1 2 1 2 1 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( )nna a n d n d n d d ， 同理，3 2 3 2( 1 ) ( )nna a n d d ，4 3 4 3( 1 ) ( )nna a n d d ， ( 1 ) 1( 1 ) ( )n n n n n na a n d d 又因为1 2 3, , , ,n n n n na a a a成等差数列，所以2 1 3 2 ( 1 )n n n n n n n na a a a a a . 故2 1 3 2 1nnd d d d d d ，即 nd是公差为21dd的等差数列 所以，1 2 1 1 2( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 )md d m d d m d m d 令122 , 1p m p m ，则1 1 2 2md p d p d，此时121pp 4 分 （）当121, 3dd时， *2 1 ( )md m m N 数列 md分组如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9( ) , ( , , ) , ( , , , , ) ,d d d d d d d d d 按分组规律，第 m 组中